Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC. Докажите, что треугольник ABC равнобедреннный.

Для начала обратимся к рисунку:


Пусть прямая, проведенная через вершину A и параллельная стороне BC, пересекает сторону AB в точке D. Тогда мы имеем:

∠BAC = ∠ADE (по условию задачи)

∠ADE = ∠ACD (по свойству параллельных прямых)

Таким образом, мы получили, что ∠BAC = ∠ACD. Теперь осталось доказать, что треугольник ABC равнобедренный, то есть стороны AB и BC равны.

Рассмотрим два треугольника: ABC и ACD. У них мы знаем следующее:

∠BAC = ∠ACD (по доказанному выше)

∠ABC = ∠ACD (по свойству параллельных прямых)

Таким образом, у нас есть два угла, равные друг другу, и сторона AC, общая для обоих треугольников. По свойству равных углов и равной стороне мы можем заключить, что сторона AB равна стороне BC, то есть треугольник ABC равнобедренный.

Таким образом, мы доказали, что если прямая, проведенная через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC, то треугольник ABC равнобедренный.