В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между: 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1

𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵

𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶

𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵

(𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵)

Для решения задачи нам нужно знать, что в кубе все ребра и диагонали равны между собой, а также знать формулу для нахождения угла между двумя прямыми в пространстве:

cos(α) = (a·b) / (|a|·|b|),

где α - угол между прямыми, a и b - векторы, проведенные по прямым.

1. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1

Найдем векторы 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1:

𝐴𝐵 = (1, 0, 0)
𝐴1𝐵1 = (1, 1, 1)

Тогда:

cos(α) = (𝐴𝐵·𝐴1𝐵1) / (|𝐴𝐵|·|𝐴1𝐵1|)
cos(α) = (1·1 + 0·1 + 0·1) / (sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2)·sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2))
cos(α) = 1 / sqrt(3)

α = arccos(1 / sqrt(3))
α ≈ 54.74°

Ответ: угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 ≈ 54.74°.

2. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵

Найдем векторы 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵:

𝐴𝐵 = (1, 0, 0)
𝐴1𝐵 = (1, 1, 0)

Тогда:

cos(α) = (𝐴𝐵·𝐴1𝐵) / (|𝐴𝐵|·|𝐴1𝐵|)
cos(α) = (1·1 + 0·1 + 0·0) / (sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2)·sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2))
cos(α) = 1 / sqrt(2)

α = arccos(1 / sqrt(2))
α ≈ 45°

Ответ: угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 ≈ 45°.

3. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶

Найдем векторы 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶:

𝐴𝐵 = (1, 0, 0)
𝐶1𝐶 = (0, 1, 1)

Тогда:

cos(α) = (𝐴𝐵·𝐶1𝐶) / (|𝐴𝐵|·|𝐶1𝐶|)
cos(α) = (1·0 + 0·1 + 0·1) / (sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2)·sqrt(0^2 + 1^2 + 1^2))
cos(α) = 0

α = arccos(0)
α = 90°

Ответ: угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 = 90°.

4. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵

Найдем векторы 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵:

𝐴𝐵 = (1, 0, 0)
𝐶1𝐵 = (0, 1, 0)

Тогда:

cos(α) = (𝐴𝐵·𝐶1𝐵) / (|𝐴𝐵|·|𝐶1𝐵|)
cos(α) = (1·0 + 0·1 + 0·0) / (sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2)·sqrt(0^2 + 1^2 + 0^2))
cos(α) = 0

α = arccos(0)
α = 90°

Ответ: угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 = 90°.

5. Угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1)

Найдем вектора нормалей к плоскостям (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) с помощью векторного произведения:

𝐴𝐵𝐶 = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
𝐵1𝐶1𝐷1 = (0, 1, 1) × (1, 1, 1) = (-1, 1, 0)

Тогда:

cos(α) = (𝐴𝐵𝐶·𝐵1𝐶1𝐷1) / (|𝐴𝐵𝐶|·|𝐵1𝐶1𝐷1|)
cos(α) = (0·(-1) + 0·1 + 1·0) / (sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2)·sqrt((-1)^2 + 1^2 + 0^2))
cos(α) = 0

α = arccos(0)
α = 90°

Ответ: угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) = 90°.

6. Угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵)

Найдем вектора нормалей к плоскостям (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) с помощью векторного произведения:

𝐴𝐵𝐶 = (1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
𝐵1𝐶1𝐵 = (0, 1, 1) × (1, 1, 0) = (-1, 1, -1)

Тогда:

cos(α) = (𝐴𝐵𝐶·𝐵1𝐶1𝐵) / (|𝐴𝐵𝐶|·|𝐵1𝐶1𝐵|)
cos(α) = (0·(-1) + 0·1 + 1·(-1)) / (sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2)·sqrt((-1)^2 + 1^2 + (-1)^2))
cos(α) = -1 / sqrt(3)

α = arccos(-1 / sqrt(3))
α ≈ 109.47°

Ответ: угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) ≈ 109.47°.

Для решения задачи необходимо знать, что в кубе все грани и ребра равны между собой, а угол между диагоналями грани куба равен 90 градусов.

1. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равен углу между диагоналями противоположных граней куба. Таким образом, угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равен 90 градусов.

2. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 равен углу между диагоналями грани куба. Таким образом, угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 также равен 90 градусов.

3. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 равен углу между диагоналями противоположных граней куба. Таким образом, угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 равен 90 градусов.

4. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 равен углу между диагоналями грани куба. Таким образом, угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵 также равен 90 градусов.

5. Угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) равен углу между диагоналями противоположных граней куба. Таким образом, угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) равен 90 градусов.

6. Угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) равен углу между диагоналями грани куба. Таким образом, угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) также равен 90 градусов.