1. Монету бросают 10 раз. При этом орел выпал к раз. При каких вероятность этого события наименьшая и при каких наибольшая?

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу Бернулли:

P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где P(k) - вероятность того, что орел выпадет k раз, n - количество бросков монеты, p - вероятность выпадения орла в одном броске (равна 0.5), C(n, k) - количество сочетаний из n по k.

Найдем вероятность выпадения орла 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 раз при 10 бросках монеты:

P(0) = C(10, 0) * 0.5^0 * 0.5^10 = 0.00098
P(1) = C(10, 1) * 0.5^1 * 0.5^9 = 0.00977
P(2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 0.04395
P(3) = C(10, 3) * 0.5^3 * 0.5^7 = 0.11719
P(4) = C(10, 4) * 0.5^4 * 0.5^6 = 0.20508
P(5) = C(10, 5) * 0.5^5 * 0.5^5 = 0.24609
P(6) = C(10, 6) * 0.5^6 * 0.5^4 = 0.20508
P(7) = C(10, 7) * 0.5^7 * 0.5^3 = 0.11719
P(8) = C(10, 8) * 0.5^8 * 0.5^2 = 0.04395
P(9) = C(10, 9) * 0.5^9 * 0.5^1 = 0.00977
P(10) = C(10, 10) * 0.5^10 * 0.5^0 = 0.00098

Наименьшая вероятность выпадения орла будет при k=0 или k=10, так как в этих случаях все броски будут одинаковыми. Наибольшая вероятность выпадения орла будет при k=5, так как в этом случае выпадение орла и решки будет равновероятным.

Ответ: наименьшая вероятность выпадения орла будет при k=0 или k=10, наибольшая - при k=5.