Можете решить задачу на множества?

Дано два множества A и B, где |A| = n и |B| = m. Найдите количество биективных отображений f: A → B, таких что для любых двух элементов a, b ∈ A, |f(a) − f(b)| ≤ 1.

Для решения задачи воспользуемся принципом Дирихле. Пусть у нас есть биективное отображение f: A → B, удовлетворяющее условию |f(a) − f(b)| ≤ 1 для любых двух элементов a, b ∈ A. Разобьем множество A на два подмножества: A1 = {a ∈ A | f(a) < f(a+1)} и A2 = {a ∈ A | f(a) > f(a+1)}. Тогда либо все элементы из A будут лежать в A1, либо все элементы из A будут лежать в A2. Действительно, если бы в A1 и A2 были хотя бы по одному элементу, то между ними была бы пара элементов, разность значений в которых была бы больше 1.

Пусть теперь |A1| = k. Тогда элементы из A1 можно переставить между собой любым способом, а элементы из A2 можно переставить между собой любым способом, так как все они больше любого элемента из A1. Таким образом, число биективных отображений f: A → B, удовлетворяющих условию |f(a) − f(b)| ≤ 1 для любых двух элементов a, b ∈ A, равно числу способов выбрать подмножество A1 из A и переставить его элементы, умноженному на число способов переставить элементы в A2. Итого получаем:

N = (n выбрать k) * (m выбрать k) * k! * (n-k)! * (m-k)!

где (n выбрать k) и (m выбрать k) обозначают число способов выбрать k элементов из n и m соответственно.