Плоскость a пересекает стороны BC и AB треугольника ABC в точках N и M соответственно причем DC:BN=7:3 MN=15см найдите AC

Для решения задачи нам понадобится теорема Пифагора и свойство подобных треугольников.

Обозначим точку пересечения прямых AD и BN как точку P.

Так как DC:BN=7:3, то мы можем представить отрезок DC как 7x, а BN как 3x, где x - некоторая константа. Тогда BP можно представить как 10x (так как BN + BP = 3x + 7x = 10x).

Также заметим, что треугольник BNP подобен треугольнику ABC, так как они имеют два одинаковых угла (угол BPN и угол ABC, угол NBP и угол ACB). Тогда мы можем записать соотношение между сторонами треугольников BNP и ABC:

BN/AB = BP/AC

3x/AC = 10x/AC

AC = 10x * AB / 3x

Теперь нам нужно найти AB. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике AMN:

MN^2 + AN^2 = AM^2

Подставляем известные значения:

15^2 + AN^2 = AM^2

AN^2 = AM^2 - 225

Также заметим, что треугольник AMP подобен треугольнику ABC, так как они имеют два одинаковых угла (угол AMP и угол ABC, угол PAM и угол ACB). Тогда мы можем записать соотношение между сторонами треугольников AMP и ABC:

AM/AB = AP/AC

AM/AB = (AP + BP)/AC

AM/AB = (AN + BN + BP)/AC

AM/AB = (15 + 3x + 10x)/AC

AM/AB = (15 + 13x)/AC

AB = AM / (15 + 13x) * AC

Теперь мы можем подставить выражение для AB в выражение для AC и решить уравнение:

AC = 10x * AB / 3x

AC = 10x * (AM / (15 + 13x) * AC) / 3x

AC^2 = 100/9 * AM^2 / (15 + 13x)^2

AC^2 = 100/9 * (AM^2 - 225) / (15 + 13x)^2

AC^2 = 100/9 * ((AC^2 + BC^2 - 2AC*BC*cos(ACB)) - 225) / (15 + 13x)^2

AC^2 = 100/9 * ((AC^2 + 25^2 - 2AC*25*cos(ACB)) - 225) / (15 + 13x)^2

AC^2 = 100/9 * (AC^2 + 625 - 50AC*cos(ACB)) / (15 + 13x)^2 - 100/9 * 225 / (15 + 13x)^2

AC^2 = (100/9 * AC^2 + 10000/9 - 800AC*cos(ACB)) / (15 + 13x)^2 - 100/9 * 5^2

AC^2 - (100/9 * AC^2 + 10000/9 - 800AC*cos(ACB)) / (15 + 13x)^2 + 100/9 * 5^2 = 0

Решая это квадратное уравнение относительно AC^2, мы можем найти AC.