В кубе 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 найдите угол между: 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1

𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵

𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶

𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵

(𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵)

Для решения этой задачи нам нужно знать, что в кубе все грани и ребра равны между собой, а также что противоположные грани параллельны и перпендикулярны друг другу.

1. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1:
Обозначим точку 𝑀 — середину ребра 𝐴1𝐵1. Тогда треугольник 𝐴𝑀𝐵1 — прямоугольный, и угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 будет равен углу 𝐴𝑀𝐵1, который можно найти по теореме Пифагора:
𝐴𝑀^2 = 𝐴𝐵^2 + 𝑀𝐵1^2
𝐴𝑀^2 = 𝐴𝐵^2 + (𝐴1𝐵1/2)^2
𝐴𝑀^2 = 𝐴𝐵^2 + 𝐴1𝐵1^2/4
𝐴𝑀/𝐴𝐵 = √(1 + 𝐴1𝐵1^2/4𝐴𝐵^2)
Таким образом, угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵1 равен arctg(𝐴1𝐵1/2𝐴𝐵).

2. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵:
Поскольку 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵 лежат на одной плоскости, угол между ними равен углу между векторами 𝐴𝐵 и 𝐴1𝐵, который можно найти по формуле скалярного произведения:
cos 𝜃 = 𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵 / (|𝐴𝐵| · |𝐴1𝐵|)
|𝐴𝐵| = |𝐴1𝐵|, поэтому
cos 𝜃 = 𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵 / 𝐴𝐵^2
𝜃 = arccos(𝐴𝐵 · 𝐴1𝐵 / 𝐴𝐵^2)

3. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶:
Обозначим точку 𝑁 — середину ребра 𝐶1𝐶. Тогда треугольник 𝐴𝑁𝐶 — прямоугольный, и угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 будет равен углу 𝐴𝑁𝐶, который можно найти по теореме Пифагора:
𝐴𝑁^2 = 𝐴𝐵^2 + 𝑁𝐶^2
𝐴𝑁^2 = 𝐴𝐵^2 + (𝐶1𝐶/2)^2
𝐴𝑁^2 = 𝐴𝐵^2 + 𝐶1𝐶^2/4
𝐴𝑁/𝐴𝐵 = √(1 + 𝐶1𝐶^2/4𝐴𝐵^2)
Таким образом, угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐶 равен arctg(𝐶1𝐶/2𝐴𝐵).

4. Угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵:
Поскольку 𝐵𝐶1 параллельна 𝐴𝐷, то 𝐴𝐵𝐶1𝐷 и 𝐴𝐵𝐵𝐶1 — подобные треугольники. Тогда
𝐴𝐵/𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐷/𝐴𝐶1
𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐵 · 𝐴𝐶1 / 𝐴𝐷
Аналогично, 𝐵𝐶1𝐶 и 𝐴𝐵𝐶𝐵 — подобные треугольники, и
𝐵𝐶1/𝐴𝐵 = 𝐵𝐶/𝐴𝐵𝐵
𝐵𝐶1 = 𝐵𝐶 · 𝐴𝐵 / 𝐴𝐵𝐵
Теперь мы можем найти угол между 𝐴𝐵 и 𝐶1𝐵, используя формулу скалярного произведения:
cos 𝜃 = 𝐴𝐵 · 𝐶1𝐵 / (|𝐴𝐵| · |𝐶1𝐵|)
|𝐴𝐵| = √(𝐴𝐵^2 + 𝐴𝐵𝐵^2), |𝐶1𝐵| = √(𝐶1𝐶^2 + 𝐵𝐶1^2)
cos 𝜃 = 𝐴𝐵 · 𝐶1𝐶 · 𝐴𝐵𝐵 / (𝐴𝐵^2 · √(𝐶1𝐶^2 + 𝐵𝐶1^2))
𝜃 = arccos(𝐴𝐵 · 𝐶1𝐶 · 𝐴𝐵𝐵 / (𝐴𝐵^2 · √(𝐶1𝐶^2 + 𝐵𝐶1^2)))

5. Угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1):
Поскольку (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐷1) пересекаются по ребру 𝐵1𝐶1, то угол между ними равен углу между плоскостями, содержащими эти грани. Этот угол можно найти по формуле:
cos 𝜃 = (𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1) · (𝐵1𝐶1 × 𝐶1𝐷1 × 𝐵𝐶1) / (|𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| · |𝐵1𝐶1 × 𝐶1𝐷1 × 𝐵𝐶1|)
|𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| = |𝐵1𝐶1 × 𝐶1𝐷1 × 𝐵𝐶1| = 𝑉, где 𝑉 — объем куба
cos 𝜃 = 𝑉^2 / (𝑉^2 · |𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| · |𝐵1𝐶1 × 𝐶1𝐷1|)
|𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| = |𝐵1𝐶1 × 𝐶1𝐷1| = 𝑆, где 𝑆 — площадь грани куба
cos 𝜃 = 𝑆 / (𝑉 · 𝑆)
𝜃 = arccos(𝑆 / (𝑉 · 𝑆))

6. Угол между (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵):
Поскольку (𝐴𝐵𝐶) и (𝐵1𝐶1𝐵) пересекаются по ребру 𝐵1𝐶, то угол между ними равен углу между плоскостями, содержащими эти грани. Этот угол можно найти по той же формуле, что и в предыдущем пункте:
cos 𝜃 = (𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1) · (𝐵1𝐶1 × 𝐵𝐶1 × 𝐵𝐶) / (|𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵𝐶1 × 𝐵𝐶|)
|𝐴𝐵 × 𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| = |𝐵1𝐶1 × 𝐵𝐶1 × 𝐵𝐶| = 𝑉, где 𝑉 — объем куба
cos 𝜃 = 𝑉^2 / (𝑉^2 · |𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| · |𝐵1𝐶1 × 𝐵𝐶|)
|𝐵𝐶 × 𝐵𝐶1| = |𝐵1𝐶1 × 𝐵𝐶| = 𝑆, где 𝑆 — площадь грани куба
cos 𝜃 = 𝑆 / (𝑉 · 𝑆)
𝜃 = arccos(𝑆 / (𝑉 · 𝑆))