Теорема о площади треугольника. Доказательство формулы площади треугольника. Подробнее. С рисунком в формате jpg или jpeg

Формула площади треугольника:

S = 1/2 * a * h

где a - основание треугольника, h - высота, опущенная на это основание.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC.



Проведем высоту CD, опущенную на сторону AB.

Тогда треугольник ACD и треугольник BCD - прямоугольные, так как угол ACD и угол BCD являются прямыми.

По теореме Пифагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2

BC^2 = BD^2 + CD^2

Вычтем второе равенство из первого:

AC^2 - BC^2 = AD^2 - BD^2

(AC + BC)(AC - BC) = (AD + BD)(AD - BD)

AC - BC = (AD + BD)(AD - BD)/(AC + BC)

Высота CD является средней линией в треугольнике ABD, поэтому:

BD = 2S/AB

AD = 2S/BC

Подставляем значения AD и BD в предыдущее равенство:

AC - BC = (2S/BC + 2S/AB)(2S/BC - 2S/AB)/(AC + BC)

AC - BC = 2S(AB + BC - AC)/(AB * BC)

Выразим S:

S = 1/2 * AB * CD = 1/2 * AB * (AC - BC)/(2 * AB * sin(alpha/2)) = 1/2 * AC * BC * sin(alpha)

где alpha - угол между сторонами AC и BC.

Таким образом, мы получили формулу площади треугольника через основание и высоту, а также через длины сторон и угол между ними.