На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отметили точки P и Q так,

что P Q || AC. Прямые BP и BQ пересекают диагональ AC в точках M и N соответственно.

Известно, что AP : P D = 2 : 3. Найдите:

а) AM : MN,

б) Площадь треугольника BMN, если известно, что SABCD = 20 .

а) Из условия AP : PD = 2 : 3 можем записать:

AP = (2/5)AD, PD = (3/5)AD

Так как P Q || AC, то по теореме Талеса:

AM : MN = BP : BQ = AP : PQ = (2/5)AD : (3/5)AD = 2 : 3

Ответ: AM : MN = 2 : 3

б) Поскольку SABCD = 20, то SAB = SBC = SCD = SDA = 5.

Так как P Q || AC, то SAMP = SAMPQ и SBPN = SBPNQ.

Тогда SABM = SAMP + SBPN = SAMPQ + SBPNQ.

Так как AM : MN = 2 : 3, то AM = (2/5)AC, MN = (3/5)AC.

Площадь параллелограмма ABCD равна:

SABCD = AC * BD = AC * (BM + DN) = AC * (AM + MN + DN) = AC * (2/5)AC + AC * (3/5)AC + SABM = 2/5 * AC^2 + 3/5 * AC^2 + SABM = AC^2 + SABM = 20.

Отсюда AC^2 = 20 - SABM.

Значит, площадь треугольника BMN равна:

SBMN = SABM - SAMPQ - SBPNQ = SABM - SAMP - SBPN = SABM - (SABM/5) - (SABM/5) = (3/5)SABM = (3/5)(20 - SABCD) = (3/5)(20 - 20) = 0.

Ответ: S_BMN = 0.