Помогите пожалуйста по интегралам!
Найти S фигуры, если она ограничена y=x^2; y= √x+1 на отрезке [0;1]

Для начала нарисуем графики функций y=x^2 и y=√x+1 на отрезке [0;1] (можно использовать онлайн графический калькулятор, например, Desmos):


Заметим, что функция y=√x+1 пересекает ось x в точке x=0 и пересекает функцию y=x^2 в точке x=1. Таким образом, мы можем разбить нашу фигуру на две части: первая часть находится между графиками функций y=x^2 и y=√x+1, а вторая часть находится под графиком функции y=x^2.

Найдем площадь первой части. Для этого нужно найти точки пересечения графиков функций y=x^2 и y=√x+1:

x^2 = √x+1

x^4 - x - 1 = 0

Решив это уравнение численными методами, получим, что x примерно равно 0.61803398875 или -1.61803398875. Так как x должно быть на отрезке [0;1], то мы берем только положительное значение x.

Таким образом, площадь первой части фигуры равна интегралу от √x+1 до x^2 по переменной x на отрезке [0.61803398875;1]:

∫(x^2 - √x - 1)dx, где x принадлежит [0.61803398875;1]

Вычислим этот интеграл:

∫(x^2 - √x - 1)dx = (x^3/3 - 2/3√x - x) + C

Подставляем границы интегрирования:

S1 = (1^3/3 - 2/3√1 - 1) - (0.61803398875^3/3 - 2/3√0.61803398875 - 0.61803398875) ≈ 0.239

Теперь найдем площадь второй части фигуры, которая находится под графиком функции y=x^2. Для этого нужно вычислить интеграл от x^2 по переменной x на отрезке [0;1]:

∫x^2 dx, где x принадлежит [0;1]

Вычисляем этот интеграл:

∫x^2 dx = x^3/3 + C

Подставляем границы интегрирования:

S2 = 1^3/3 - 0^3/3 = 1/3

Наконец, суммируем площади двух частей:

S = S1 + S2 ≈ 0.239 + 1/3 ≈ 0.572

Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^2 и y=√x+1 на отрезке [0;1], равна примерно 0.572.