Лучшие помощники
- Megamozg 2170 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 775 б
- Dwayne_Johnson 755 б
2 апреля 2023 03:01
446
Найти интеграл:
Интеграл arctg(корень x) dx
1
ответ
Ответ:
![\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C \displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20x%5Ccdot%20arctg%5Csqrt%20x%20%2B%20arctg%5Csqrt%20x%20-%20%5Csqrt%20x%20%2B%20C)
Пошаговое объяснение:
![$\int arctg\sqrt x\;dx $\int arctg\sqrt x\;dx](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cint%20arctg%5Csqrt%20x%5C%3Bdx)
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
![$\int u\;dv = uv - \int v\;du $\int u\;dv = uv - \int v\;du](https://tex.z-dn.net/?f=%24%5Cint%20u%5C%3Bdv%20%3D%20uv%20-%20%5Cint%20v%5C%3Bdu)
Пусть u = arctg√x ⇒
![\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{(1+x)\cdot2\sqrt x} \Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{(1+x)\cdot2\sqrt x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5CRightarrow%20%5Cdisplaystyle%20du%20%3D%20arctg%28%5Csqrt%20x%29%27%20%5C%3Bdx%20%3D%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%281%2Bx%29%5Ccdot2%5Csqrt%20x%7D)
Пусть dv = dx ⇒ v = x
![\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} \displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20arctg%5Csqrt%20x%5C%3Bdx%20%3D%20x%5Ccdot%20arctg%5Csqrt%20x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%20%5Cfrac%7Bxdx%7D%7B%5Csqrt%20x%5Ccdot%281%2Bx%29%7D)
Рассмотрим интеграл:
![\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} \displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%20%5Cfrac%7Bxdx%7D%7B%5Csqrt%20x%5Ccdot%281%2Bx%29%7D)
Обозначим √x = t
x = t² ⇒ dx = 2t dt
![\displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac = \int \frac = \int\bigg(1- \frac\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x \displaystyle\frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac = \int \frac = \int\bigg(1- \frac\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%20%5Cfrac%7Bxdx%7D%7B%5Csqrt%20x%5Ccdot%281%2Bx%29%7D%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7Bt%5E3dt%7D%7Bt%5Ccdot%281%2Bt%5E2%29%7D%20%3D%20%5Cint%20%5Cfrac%7Bt%5E3dt%7D%7Bt%2Bt%5E3%7D%20%3D%20%5Cint%5Cbigg%281-%20%5Cfrac%7Bt%7D%7Bt%2Bt%5E3%7D%5Cbigg%29dt%20%3D%20%5C%5C%5C%5C%5C%5Ct%20-%20%5Cint%5Cfrac%7Bdt%7D%7B1%2Bt%5E2%7D%20%3D%20t%20-%20arctg%28t%29%20%3D%20%5Csqrt%20x%20-%20arctg%5Csqrt%20x)
Вернёмся к нашему интегралу:
![\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C \displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac\int \frac{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%20arctg%5Csqrt%20x%5C%3Bdx%20%3D%20x%5Ccdot%20arctg%5Csqrt%20x%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cint%20%5Cfrac%7Bxdx%7D%7B%5Csqrt%20x%5Ccdot%281%2Bx%29%7D%20%3D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%3D%20x%5Ccdot%20arctg%5Csqrt%20x%20-%20%28%5Csqrt%20x%20-%20arctg%5Csqrt%20x%29%20%3D%20x%5Ccdot%20arctg%5Csqrt%20x%20%2B%20arctg%5Csqrt%20x%20-%20%5Csqrt%20x%20%2B%20C)
Пошаговое объяснение:
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
Пусть u = arctg√x ⇒
Пусть dv = dx ⇒ v = x
Рассмотрим интеграл:
Обозначим √x = t
x = t² ⇒ dx = 2t dt
Вернёмся к нашему интегралу:
0
·
Хороший ответ
4 апреля 2023 03:01
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Можно ли 0:7? Если можно сколько получиться?...
Какую операцию нужно выполнить с числом 11, чтобы получить результат, равный 1331?...
Какие значения переменной x удовлетворяют уравнению 10x² - 5x = 0?...
Какова молекулярная формула "1 метил гексен 1"?...
Каковы опасности использования 1 хлорпропан гексана?...