Лучшие помощники
- Megamozg 2170 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 775 б
- Dwayne_Johnson 755 б
2 апреля 2023 04:15
752
Найдите сумму четвёртых степеней корней уравнения
x^2+x-1=0
1
ответ
Обратим сразу внимание на то, что уравнение имеет два корня. Для этого или посчитаем дискриминант, или заметим, что график функции
парабола, ветви которой направлены вверх, причем y(0)=-1<0, что гарантирует два пересечения этой параболы с осью OX (координаты точек пересечения и являются корнями уравнения).
1-й способ. По теореме Виета![x_1+x_2=-1; x_1x_2=-1. x_1+x_2=-1; x_1x_2=-1.](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%2Bx_2%3D-1%3B%20x_1x_2%3D-1.)
Далее,![x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2=(1+2)^2-2=7. x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2=(1+2)^2-2=7.](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5E4%2Bx_2%5E4%3D%28x_1%5E2%2Bx_2%5E2%29%5E2-2x_1%5E2x_2%5E2%3D%28%28x_1%2Bx_2%29%5E2-2x_1x_2%29%5E2-2%3D%281%2B2%29%5E2-2%3D7.)
2-й способ: Если x - корень уравнения![x^2+x-1=0\Rightarrow x^2=1-x\Rightarrow x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x. x^2+x-1=0\Rightarrow x^2=1-x\Rightarrow x^4=(1-x)^2=1-2x+x^2=1-2x+1-x=2-3x.](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2Bx-1%3D0%5CRightarrow%20x%5E2%3D1-x%5CRightarrow%20x%5E4%3D%281-x%29%5E2%3D1-2x%2Bx%5E2%3D1-2x%2B1-x%3D2-3x.)
Таким образом,
![x_1^4=2-3x_1;\ x_2^4=2-3x_2; x_1^4+x_2^4=2-3x_1+2-3x_2=4-3(x_1+x_2)=4+3=7 x_1^4=2-3x_1;\ x_2^4=2-3x_2; x_1^4+x_2^4=2-3x_1+2-3x_2=4-3(x_1+x_2)=4+3=7](https://tex.z-dn.net/?f=x_1%5E4%3D2-3x_1%3B%5C%20x_2%5E4%3D2-3x_2%3B%20x_1%5E4%2Bx_2%5E4%3D2-3x_1%2B2-3x_2%3D4-3%28x_1%2Bx_2%29%3D4%2B3%3D7)
Ответ: 7
1-й способ. По теореме Виета
Далее,
2-й способ: Если x - корень уравнения
Таким образом,
Ответ: 7
0
·
Хороший ответ
4 апреля 2023 04:15
Остались вопросы?