Дана полуокружность. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на этой полуокружности

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Ответ:
Геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на полуокружности, представлено в приложении на рис. 3.
Пошаговое объяснение:
Пусть дана полуокружность с радиусом R и центром в точке $(0;0)$ (рис. 1.).
Любую точку этой полуокружности можно представить в виде:
$\displaystyle\left \{ { \atop } \right. ;\ \ \ \ 0^\circ\le \alpha \le 180^\circ;\ \ \ \ \left \ {{-R\le x\le R} \atop {\ \ \ 0\le y \le R}} \right.$
Максимальная длина отрезка, концы которого лежат на полуокружности, равна диаметру. Середина такого отрезка - это центр полуокружности. Геометрическое место середины отрезка-диаметра в системе координат - это точка $(0;0).$
Минимальная длина отрезка, концы которого лежат на полуокружности, равна нулю, если концы отрезка совпадают. В этом случае середина отрезка совпадает с концами отрезка. Геометрическое место середин вырожденных отрезков - сама полуокружность.
Середины произвольных отрезков будут находиться в пределах полукруга, ограниченного заданной полуокружностью и осью Ох.
Координаты середины любого отрезка можно посчитать как среднее арифметическое координат концов отрезка:
$x_c=\dfrac2;\ \ \ \ y_c=\dfrac2$
Возьмём две точки полуокружности $(x_1; y_1);\ (x_2; y_2).$ Одна точка произвольная, а вторая находится в первой четверти.
Для координат любых этих точек выполняются условия:
$x_1\ge -R;\ \ \ y_1\ge 0;\\x_2=R\cos\alpha\ge0;\ \ \ y_2=R\sin\alpha\ge 0;\\0^\circ\le\alpha \le 90^\circ$
Тогда для координат середины такого отрезка выполняются неравенства:
$\displaystyle\left \{ {2\ge\dfrac{-R+R\cos\alpha }2} \atop 2}\ge\dfrac2} \right.$
Преобразуем неравенства:
$\displaystyle\left \{ {2} \atop 2\ \ \ \ \ } \right.\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left \{ { \right.$
В обоих неравенствах правые части неотрицательные, левые не меньше их, то есть тоже неотрицательные. Возведём в квадрат и сложим оба неравенства:
$\displaystyle\left \{ {{\left(x_c+\dfrac R2\right)^2\ge\left(\dfrac R2\right)^2\cdot \cos^2\alpha \atop \right.+\\-----------------\\\left(x_c+\dfrac R2\right)^2+y_c^2\ge\left(\dfrac R2\right)^2\cdot \cos^2\alpha+\left(\dfrac R2\right)^2\cdot \sin^2\alpha\\\\\left(x_c+\dfrac R2\right)^2+y_c^2\ge\left(\dfrac R2\right)^2\cdot \underbrace{\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)}_{=1}\\\\$

$\left(x_c+\dfrac R2\right)^2+y_c^2=\left(\dfrac R2\right)^2$
Это уравнение окружности с радиусом $\dfrac R2$ и центром в точке $\left(-\dfrac R2;0\right).$
Тогда точки, удовлетворяющие неравенству:
$\left(x_c+\dfrac R2\right)^2+y_c^2\ge\left(\dfrac R2\right)^2$ , лежат либо на окружности, либо вне круга с радиусом $\dfrac R2$ и центром в точке $\left(-\dfrac R2;0\right).$ Рис. 2.

Так как полуокружность симметрична относительно оси Оу, то в первой четверти можно вырезать точно такую же область, в которую середины отрезков попасть не могут. Эта ситуация соответствует условию, что один конец отрезка находится во второй четверти, а второй конец выбран произвольно. Таким образом, все возможные случаи расположения концов отрезков учтены.

На рис.3 синим цветом показано геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на полуокружности.

Хороший ответ

4 апреля 2023 11:44

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Как представить число 0.2 в виде десятичной дроби?... Какую единицу измерения имеет величина, которую необходимо определить по заданию '10 мом сколько ом'?... Задание двумя способами второй метод треугольников... В)шестьсот двадцать семь тысяч триста Г) три миллиона восемьсот тысяч четыре Д)четыреста миллионов семьдесят тысяч двести шесть Е) девяносто пять ми... Расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода 440 км.Каким должен быть масштаб карты,чтобы на ней это расстояние имело длину 8,8 км?...

Дана полуокружность. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на этой полуокружности​

Дана полуокружность. Найдите геометрическое место середин отрезков, концы которых лежат на этой полуокружности