Лучшие помощники
- Megamozg 2170 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1685 б
- arkasha_bortnikov 775 б
- Dwayne_Johnson 755 б
2 апреля 2023 12:33
958
Найти частное решение дифференциального уравнения,удовлетворяющее данным начальным условиям.y"-6y'- 25y= 9sin4x-24cos4x
y(0)=2, y'(0)=-2
1
ответ
Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка
y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0
Решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx;y''=λ2eλx.
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение
λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=>сокращаем на eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)
λ2+2λ+2=0=> найдем корни характеристического уравнения λ1,2=−2±4−8−−−−√2=>λ1=−1−i;λ2=−1+i
Получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения y1(x)=e−xcos(x);y2(x)=e−xsin(x)
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация yодн=C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)
2. Решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)e−xcos(x)+C2(x)e−xsin(x)(1).
Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом
y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))
y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))
⎧⎩⎨⎪⎪C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0C'1(x)y'1(x)+C'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем
{C'1(x)e−xcos(x)+C'2(x)e−xsin(x)=0C'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(x)))+C'2(x)(e−x(cos(x)−sin(x)))=2x2+8x+6=>
{C'1(x)cos(x)+C'2(x)sin(x)=0−C'1(x)(cos(x)+sin(x))+C'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex
решаем систему уравнений методом Крамера и находим интегралы.
C1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx==−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))
C2(x)=∫∣∣∣cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
yчаст= −ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))∗e−xcos(x)++ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))∗e−xsin(x)=
=x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x) = x2+2x
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида yоб=yодн+yчаст
подставляем результаты из п.1,п.2
yоб= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши
Находим значение функции при условии y(0)=1
yоб(0)= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x=1=> C1 =1
Находим производную y′(x)
y′об= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x==−C1e−xcos(x)−C1e−xsin(x)−C2e−xsin(x)+C2e−xcos(x)+2x+2
при условии y′(0)=4
y′об(0) =−C1+C2+2=4
Составляем систему уравнений и решаем ее{C1=1−C1+C2=2=> {C1=1C2=3
Подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях Коши
yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
y′′+2y′+2y=2x2+8x+6при заданных начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение y′′+2y′+2y=0
Решение будем искать в виде y=eλx, тогда y'=λeλx;y''=λ2eλx.
Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение
λ2eλx+2λeλx+2eλx=0=>сокращаем на eλx, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)
λ2+2λ+2=0=> найдем корни характеристического уравнения λ1,2=−2±4−8−−−−√2=>λ1=−1−i;λ2=−1+i
Получили комплексно сопряженные корни, им соответствуют два решения y1(x)=e−xcos(x);y2(x)=e−xsin(x)
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация yодн=C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)
2. Решаем неоднородное уравнение y′′+2y′+2y=2x2+8x+6
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной C1=C1(x);C2=C2(x) в виде yчаст(x)=C1(x)e−xcos(x)+C2(x)e−xsin(x)(1).
Для нахождения функций C1(x);C2(x), подставим результаты в систему с учетом
y′1(x)=(e−xcos(x))′=−e−x(cos(x)+sin(x))
y′2(x)=(e−xsin(x))′=e−x(cos(x)−sin(x))
⎧⎩⎨⎪⎪C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0C'1(x)y'1(x)+C'2(x)y'2(x)=b(x)a0(x)получаем
{C'1(x)e−xcos(x)+C'2(x)e−xsin(x)=0C'1(x)(−e−x(cos(x)+sin(x)))+C'2(x)(e−x(cos(x)−sin(x)))=2x2+8x+6=>
{C'1(x)cos(x)+C'2(x)sin(x)=0−C'1(x)(cos(x)+sin(x))+C'2(x)(cos(x)−sin(x))=(2x2+8x+6)ex
решаем систему уравнений методом Крамера и находим интегралы.
C1(x)=∫∣∣∣0(2x2+8x+6)exsin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫−sin(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==−∫sin(x)(2x2+8x+6)exdx==−ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))
C2(x)=∫∣∣∣cos(x) cos(x)+sin(x)0 (2x2+8x+6)ex ∣∣∣∣∣∣cos(x)−(cos(x)+sin(x))sin(x)cos(x)−sin(x)∣∣∣dx=
=∫cos(x)(2x2+8x+6)excos(x)(cos(x)−sin(x))+sin(x)(cos(x)+sin(x))dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)excos2(x)−cos(x)sin(x)+sin(x)cos(x)+sin2(x)dx==∫cos(x)(2x2+8x+6)exdx==ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
yчаст= −ex((x2+4x+2)sin(x)−x(x+2)cos(x))∗e−xcos(x)++ex((x2+4x+2)cos(x)+x(x+2)sin(x))∗e−xsin(x)=
=x(x+2)cos2(x)+x(x+2)sin2(x) = x2+2x
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида yоб=yодн+yчаст
подставляем результаты из п.1,п.2
yоб= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x
4. Решаем задачу Коши при начальных условиях y(0)=1,y′(0)=4
Находим значения констант при заданных начальных условиях Коши
Находим значение функции при условии y(0)=1
yоб(0)= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x=1=> C1 =1
Находим производную y′(x)
y′об= C1e−xcos(x)+C2e−xsin(x)+ x2+2x==−C1e−xcos(x)−C1e−xsin(x)−C2e−xsin(x)+C2e−xcos(x)+2x+2
при условии y′(0)=4
y′об(0) =−C1+C2+2=4
Составляем систему уравнений и решаем ее{C1=1−C1+C2=2=> {C1=1C2=3
Подставляем результат в п.3, получаем общее решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях Коши
yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
Ответ: решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальному условию Каши yоб=e−xcos(x)+3e−xsin(x)+ x2+2x
0
·
Хороший ответ
4 апреля 2023 12:33
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Сколько различных трёхзначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 6, 8?...
Какие прилагательные можно использовать для описания местности?...
Какие части речи чаще всего используются в сложносочиненных предложениях?...
Какие глаголы относятся к 1 спряжению?...
8/15 от _*=_* Пожалуйста...