Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Общее правило: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и произведению внутренней: $f'(g(x) = f'(g)\cdot g'(x)$ . Разберём подробно несколько примеров, на остальные я только дам ответы, т.к. заданий много, решение получится длинное.

Начнём с простого.
№1
$y=e^{-x}\\
f=e^\\
g = -x \\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = e^g\cdot(-1)=-e^{-x}$
Производная kx равна просто k, т.е. -1 в нашем случае, а производная экспоненты равна самой экспоненте.

Теперь возьмём что-нибудь сложное.
№5
$y=16^{\sqrt}+6x+14\\
f=16^g\\
g=\sqrt=x^{\frac}\\
y' = f'(g)\cdot g'(x) + (6x)' + (14)' = (16^g)'\cdot(x^\frac)'+6+0 = \\ = 16^g\cdot \ln \cdot \fracx^{\frac}+6=\frac\cdot16^{\sqrt}\cdot \ln16\cdot \sqrt+6$
Понятно, что проблемы могут тутвозникнуть только с первым слагаемым, остальное дифференцируется очень легко. Нужно помнить, как брать производную от a^x, свойства корней и правило производной сложной функции, конечно же.

Разберём случай двойной вложенности y = f(g(h(x))).
№6
$y=e^{(3x+5)^2}\\
f=e^g\\
g=h^2\\
h=3x+5 \\ y'= f'(g) \cdot g'(h)\cdot h'(x) = (e^g)'\cdot (h^2)'\cdot(3x+5)'=e^g\cdot2h \cdot 3 = \\ =6e^{(3x+5)^2}\cdot(3x+5)$
Здесь мы видим уже три функции, вложенные друг в друга: экспонента, степень и kx. Главное в таких случаях не пугаться и подробно всё расписать;)

Ну и напоследок что-нибудь с логарифмом.
№13
$y=\ln^3x\\
f=g^3 \\
g=\ln x\\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = (g^3)'\cdot\frac = \frac = \frac$

Остальные задания делаются по тому же принципу.
Ответы:
$\displaystyle
2) \frac{\sqrt} \\
3) e^x + \frac} \\
4) e^x -\frac} \\
7) 3a^ \ln \\
8) e^x a^x+e^x a^x \ln a \\
9) \frac \\
10) \frac \\ 11) \frac \\
12) \frac$

Хороший ответ

5 апреля 2023 13:00

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

419. Найдите сумму, пользуясь переместительным и сочетательным свой- ствами сложения: 1) −3+ (-8) + (-7); 2) -29 + (-46) + (−21); 3) -103 + (-72) + (-... Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 38 раз... Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 10 см, имеют равные периметры. чему равна неизвестная сторона прямоугольника?... Найдите разность: 1) 76 м 39 см - 41 м 24 см: 9) 64 м 45 см – 27 м 86 см: а) 22 км 527 м – 17 км 783 м. 4) 4 км 238 м – 3 км 474 м: 5) 12 ч 24 мин - 9... Какое число в задании является третьим по величине?...

Производная сложной функции1) y=e^-x 2) y=√e^x 3) y=e^x-e^-x/2 4) y=e^x+e^-x/2 5) y= 16^√x^3+6x+14 6) y=e^(3x+5)^2 7) y=a^3x 8) y=a^x e^x 9) y=lg(2x) 10) y=In 3x 11) log3(4x-2) 12) y=In(x^3) 13) y=(In x)^3

Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3