Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2205

Общее правило: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и произведению внутренней: $f'(g(x) = f'(g)\cdot g'(x)$ . Разберём подробно несколько примеров, на остальные я только дам ответы, т.к. заданий много, решение получится длинное.

Начнём с простого.
№1
$y=e^{-x}\\
f=e^\\
g = -x \\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = e^g\cdot(-1)=-e^{-x}$
Производная kx равна просто k, т.е. -1 в нашем случае, а производная экспоненты равна самой экспоненте.

Теперь возьмём что-нибудь сложное.
№5
$y=16^{\sqrt}+6x+14\\
f=16^g\\
g=\sqrt=x^{\frac}\\
y' = f'(g)\cdot g'(x) + (6x)' + (14)' = (16^g)'\cdot(x^\frac)'+6+0 = \\ = 16^g\cdot \ln \cdot \fracx^{\frac}+6=\frac\cdot16^{\sqrt}\cdot \ln16\cdot \sqrt+6$
Понятно, что проблемы могут тутвозникнуть только с первым слагаемым, остальное дифференцируется очень легко. Нужно помнить, как брать производную от a^x, свойства корней и правило производной сложной функции, конечно же.

Разберём случай двойной вложенности y = f(g(h(x))).
№6
$y=e^{(3x+5)^2}\\
f=e^g\\
g=h^2\\
h=3x+5 \\ y'= f'(g) \cdot g'(h)\cdot h'(x) = (e^g)'\cdot (h^2)'\cdot(3x+5)'=e^g\cdot2h \cdot 3 = \\ =6e^{(3x+5)^2}\cdot(3x+5)$
Здесь мы видим уже три функции, вложенные друг в друга: экспонента, степень и kx. Главное в таких случаях не пугаться и подробно всё расписать;)

Ну и напоследок что-нибудь с логарифмом.
№13
$y=\ln^3x\\
f=g^3 \\
g=\ln x\\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = (g^3)'\cdot\frac = \frac = \frac$

Остальные задания делаются по тому же принципу.
Ответы:
$\displaystyle
2) \frac{\sqrt} \\
3) e^x + \frac} \\
4) e^x -\frac} \\
7) 3a^ \ln \\
8) e^x a^x+e^x a^x \ln a \\
9) \frac \\
10) \frac \\ 11) \frac \\
12) \frac$

Хороший ответ

5 апреля 2023 13:00

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

Сколько буде в години 2 доби... Какие факторы влияют на развитие аллергических реакций?... для ремонта комнаты купили 6 рулонов обоев длиной 12м 50см каждый израсходовали три четвертых части купленных рулонов обоев сколько обоев осталось?... Мешок сахара (50 кг) недавно стоил на оптовом складе 35 евро.В магазине же за один килограмм сахара в это время приходилось платить 75 центов.На сколь... Какой результат получится, если перевести числа 1 и 6 в десятичную дробь?...

Производная сложной функции1) y=e^-x 2) y=√e^x 3) y=e^x-e^-x/2 4) y=e^x+e^-x/2 5) y= 16^√x^3+6x+14 6) y=e^(3x+5)^2 7) y=a^3x 8) y=a^x e^x 9) y=lg(2x) 10) y=In 3x 11) log3(4x-2) 12) y=In(x^3) 13) y=(In x)^3

Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3