Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3

1 ответ

Посмотреть ответы

Megamozg

2190

Общее правило: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и произведению внутренней: $f'(g(x) = f'(g)\cdot g'(x)$ . Разберём подробно несколько примеров, на остальные я только дам ответы, т.к. заданий много, решение получится длинное.

Начнём с простого.
№1
$y=e^{-x}\\
f=e^\\
g = -x \\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = e^g\cdot(-1)=-e^{-x}$
Производная kx равна просто k, т.е. -1 в нашем случае, а производная экспоненты равна самой экспоненте.

Теперь возьмём что-нибудь сложное.
№5
$y=16^{\sqrt}+6x+14\\
f=16^g\\
g=\sqrt=x^{\frac}\\
y' = f'(g)\cdot g'(x) + (6x)' + (14)' = (16^g)'\cdot(x^\frac)'+6+0 = \\ = 16^g\cdot \ln \cdot \fracx^{\frac}+6=\frac\cdot16^{\sqrt}\cdot \ln16\cdot \sqrt+6$
Понятно, что проблемы могут тутвозникнуть только с первым слагаемым, остальное дифференцируется очень легко. Нужно помнить, как брать производную от a^x, свойства корней и правило производной сложной функции, конечно же.

Разберём случай двойной вложенности y = f(g(h(x))).
№6
$y=e^{(3x+5)^2}\\
f=e^g\\
g=h^2\\
h=3x+5 \\ y'= f'(g) \cdot g'(h)\cdot h'(x) = (e^g)'\cdot (h^2)'\cdot(3x+5)'=e^g\cdot2h \cdot 3 = \\ =6e^{(3x+5)^2}\cdot(3x+5)$
Здесь мы видим уже три функции, вложенные друг в друга: экспонента, степень и kx. Главное в таких случаях не пугаться и подробно всё расписать;)

Ну и напоследок что-нибудь с логарифмом.
№13
$y=\ln^3x\\
f=g^3 \\
g=\ln x\\
y'=f'(g)\cdot g'(x) = (g^3)'\cdot\frac = \frac = \frac$

Остальные задания делаются по тому же принципу.
Ответы:
$\displaystyle
2) \frac{\sqrt} \\
3) e^x + \frac} \\
4) e^x -\frac} \\
7) 3a^ \ln \\
8) e^x a^x+e^x a^x \ln a \\
9) \frac \\
10) \frac \\ 11) \frac \\
12) \frac$

Хороший ответ

5 апреля 2023 13:00

Остались вопросы?

Найти нужный

Еще вопросы по категории Математика

За 5часов работы оператор коипютерного набора напечатал 60 страниц текста.Какова продуктивность труда оператора?За сколько часов он может напечатать 7... Для спортивной команды купили маек 184 шт. и футболок 253 шт. Определи наибольшее число спортсменов в команде, если каждый получит одинаковый набор од... Какое количество квадратных метров соответствует 10 квадратным сантиметрам?... Какое количество сантиметров содержится в одном дециметре квадратном?... Вычислите периметр параллелограмма со сторонами 45 и 24 см...

Производная сложной функции1) y=e^-x 2) y=√e^x 3) y=e^x-e^-x/2 4) y=e^x+e^-x/2 5) y= 16^√x^3+6x+14 6) y=e^(3x+5)^2 7) y=a^3x 8) y=a^x e^x 9) y=lg(2x) 10) y=In 3x 11) log3(4x-2) 12) y=In(x^3) 13) y=(In x)^3

Производная сложной функции1) y=e^-x
2) y=√e^x
3) y=e^x-e^-x/2
4) y=e^x+e^-x/2
5) y= 16^√x^3+6x+14
6) y=e^(3x+5)^2
7) y=a^3x
8) y=a^x e^x
9) y=lg(2x)
10) y=In 3x
11) log3(4x-2)
12) y=In(x^3)
13) y=(In x)^3