Найдите угол между плоскостями, заданными уравнениями 𝑥 + 𝑦 = 0 и √2𝑥 + √2𝑧 = 0.

Для решения этой задачи нам нужно найти нормальные векторы к каждой из плоскостей, а затем найти косинус угла между ними.

Нормальный вектор к плоскости 𝑥 + 𝑦 = 0 можно найти, заметив, что он должен быть перпендикулярен к любому вектору, лежащему в этой плоскости. Таким вектором может быть, например, вектор (1, -1, 0).

Нормальный вектор к плоскости √2𝑥 + √2𝑧 = 0 можно получить, разрешив уравнение относительно одной из переменных и заметив, что любой вектор, лежащий в этой плоскости, должен быть перпендикулярен к этому вектору. Разрешая уравнение, получаем 𝑧 = -𝑥, откуда следует, что нормальный вектор к плоскости имеет вид (1, 0, -1).

Теперь нам нужно найти косинус угла между этими векторами. Для этого мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

cos(𝜃) = (𝑎⋅𝑏) / (||𝑎||⋅||𝑏||),

где 𝑎 и 𝑏 - это наши нормальные векторы, а ||𝑎|| и ||𝑏|| - их длины.

Вычисляем:

cos(𝜃) = ((1, -1, 0)⋅(1, 0, -1)) / (||(1, -1, 0)||⋅||(1, 0, -1)||) = (-1) / (√2⋅√2) = -1/2.

Таким образом, косинус угла между плоскостями равен -1/2. Однако мы хотим найти сам угол, а не его косинус. Для этого мы можем воспользоваться формулой

cos(𝜃) = cos(arccos(𝜃)) = 𝜃,

где arccos - обратная функция косинуса.

Таким образом, 𝜃 = arccos(-1/2) = 120°.

Ответ: угол между плоскостями равен 120°.