1. Михаил взял в банке кредит по ставке 20% годовых. Выплата по кредиту осуществляется раз в год(после начисления процентов) суммой 432000 рублей. Какую сумму взял в банке Михаил, если он выплатил весь долг за 3 года?
2. В параллелограмме ABCD угол BAC в два раза больше угла CAD. Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке L. a) Докажите, что AL * BC = AB * AC. б) На протяжении стороны CD за точку D взята точка E так, что CE = AE. Найдите длину отрезка LE, если известно, что AB = 2, cos угла CAD = 0,8

1. Для решения задачи используем формулу для вычисления суммы процентов по кредиту: S = P * (1 + r)^n, где S - сумма долга, P - сумма кредита, r - годовая процентная ставка, n - количество лет. Так как Михаил выплатил весь долг за 3 года, то S = 432000 * 3 = 1296000. Подставляем известные значения в формулу и находим P: P = S / (1 + r)^n = 1296000 / (1 + 0.2)^3 ≈ 747258. Итак, Михаил взял в банке около 747258 рублей.

2. а) Для доказательства равенства AL * BC = AB * AC воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC: AB / sin(CAD) = AC / sin(BAC) = BC / sin(ACB). Так как sin(BAC) = 2 * sin(CAD) (из условия), то AB / sin(CAD) = AC / (2 * sin(CAD)), откуда AB = AC / 2. Подставляем это равенство в формулу для BC / sin(ACB) и получаем BC = 2 * sin(ACB) * AC. Теперь заметим, что AL / AB = sin(BAL) и AC / AL = sin(CAL) (по теореме синусов в треугольнике ALC). Выразим sin(BAL) и sin(CAL) через углы BAC и CAD: sin(BAL) = sin(BAC - CAL) = sin(BAC) * cos(CAL) - cos(BAC) * sin(CAL) = (2 * sin(CAD) * cos(CAD) - cos(BAC) * 0.8) / 2 = (sin(2 * CAD) - 0.8 * sin(CAD)) / 2, sin(CAL) = sin(CAD) / 2. Подставляем это в выражение для AL / AB и получаем AL = AB * (sin(2 * CAD) - 0.8 * sin(CAD)) / 2. Теперь умножим BC на AL и AB на AC и сравним полученные выражения: AL * BC = 2 * sin(ACB) * AC * AB * (sin(2 * CAD) - 0.8 * sin(CAD)) / 4 = AB * AC * (2 * sin(ACB) * sin(BAC) - sin(BAC) * cos(CAD)) / 2 = AB * AC * sin(BAC) = AB * AC.

2. б) Пусть угол CAD равен α. Так как cos(α) = 0.8, то sin(α) = 0.6 (из тригонометрической памяти). Значит, sin(BAC) = 2 * sin(α) = 1.2. По теореме синусов в треугольнике ABC: AB / sin(CAD) = AC / sin(BAC), откуда AB = 2 * AC / 3. Теперь заметим, что треугольник ALC подобен треугольнику ABC, так как углы BAL и CAB соответственно равны. Значит, AL / AC = AC / BC, откуда AL = AC^2 / BC. Подставляем сюда выражения для AB и AC и получаем AL = 4 / 9 * BC. Теперь заметим, что треугольник ALE равнобедренный (AE = CE), а угол AEL равен (180 - BAC) / 2 = 90 - α, так как угол CAD равен α. Значит, sin(AEL) = sin(90 - α) = cos(α) = 0.8. По теореме синусов в треугольнике ALE: LE / sin(AEL) = AL, откуда LE = AL * sin(AEL) = 4 / 9 * BC * 0.8 = 0.3556 * BC. Ответ: LE = 0.3556 * BC.