Вася написал пять натуральных (необязательно различных) чисел, а потом Аня вычислила все возможные попарные суммы этих чисел. Получилось всего три различных значения: 35, 52 и 69. Посмотрев на полученные Аней значения, Петя смог точно назвать наибольшее из написанных Васей чисел. Какое это число?

Обозначим пять чисел, написанных Васей, через $a,$ $b,$ $c,$ $d$ и $e.$ Тогда мы знаем, что:

$a+b=35,$

$a+c=52,$

$a+d=69.$

Вычитая из последних двух равенств первое, получаем $c-d=17.$ Также мы знаем, что $a$ является наибольшим из написанных чисел. Предположим, что $e>a.$ Тогда $a+e>2a,$ и, следовательно, $a+e$ должно быть больше 69, чтобы получиться наибольшим из всех возможных попарных сумм. Но это противоречит тому, что $a+b=35.$ Значит, $a$ является наибольшим из написанных чисел. Из первого равенства следует, что $b=35-a,$ а из второго равенства следует, что $c=52-a.$ Тогда третье равенство можно переписать в виде $a+d=52+c,$ то есть $d=c+17=69-(a+b),$ откуда $a+b+d=69.$ Значит, наибольшее число, написанное Васей, равно $\boxed{d=24}.$