На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, Р и О так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

Для начала заметим, что по условию имеем:

AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA.

Сложим первое и третье равенства:

AM + BM = CP + DP,

то есть AB = CD.

Аналогичным образом, из второго и четвертого равенств получаем:

BC = AD.

Значит, ABCD - параллелограмм.

Теперь рассмотрим четырехугольник MNPQ. Заметим, что точки M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Значит, MN || AB, PQ || CD, и соответственно MP || BC, NQ || DA. Таким образом, MNPQ - параллелограмм.

Итак, мы доказали, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.