1. При каких вещественных а истинно высказывание:
2. a. ∀𝑥:𝑥2+𝑎𝑥+2>0;
3. b. ∃𝑥:𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1≥0.

A. Изучим функцию 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+2. Для того, чтобы 𝑓(𝑥)>0 для всех 𝑥, 𝑓(𝑥) должна быть положительной при любых значениях 𝑥. Рассмотрим дискриминант 𝐷=𝑎2−8. Если 𝐷>0, то уравнение 𝑓(𝑥)=0 имеет два корня, и между ними функция принимает отрицательные значения. Если 𝐷<0, то уравнение 𝑓(𝑥)=0 не имеет корней, и функция всегда положительна. Значит, условие 𝐷<0 должно выполняться: 𝑎2−8<0, откуда −2<𝑎<2.

b. Рассмотрим функцию 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑎𝑥+1. Если 𝑎>0, то 𝑓(𝑥) будет минимальной при 𝑥=−1/2𝑎, и 𝑓(−1/2𝑎)=1/4𝑎2−1/2𝑎+1. Это выражение всегда положительно, так как дискриминант 𝐷=1−4𝑎<0. Значит, для 𝑎>0 высказывание истинно. Если 𝑎=0, то высказывание также истинно. Если 𝑎<0, то 𝑓(𝑥) будет максимальной при 𝑥=−1/2𝑎, и 𝑓(−1/2𝑎)=1/4𝑎2−1/2𝑎+1. Это выражение может быть отрицательным, например, при 𝑎=−2. Значит, для 𝑎≤0 высказывание ложно.

Итак, высказывание а истинно при −2<𝑎<2, а высказывание b истинно при 𝑎>0.