Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 865 б
1 мая 2023 12:10
219
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 24 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, которые равны 5,5 см и 17,5 см. Найдите угол при большем основании трапеции.
1
ответ
Обозначим бóльшее основание трапеции через $a$, а меньшее — через $b$. Так как трапеция равнобедренная, то $b = a - 2x$, где $x$ — расстояние от середины меньшего основания до средней линии.
По условию задачи, $x$ можно найти из уравнения на диагонали:
$$
\frac{a-b}{2} = \frac{17.5}{2} + x + \frac{5.5}{2} + x,
$$
откуда
$$
a - b = 23 + 2x.
$$
С другой стороны, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями трапеции и её параллельными основаниями, имеем
$$
\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,
$$
где $h$ — высота трапеции. Подставляем выражение для $b$ и упрощаем:
$$
\left(\frac{a-23-2x}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{a+a-2x}{2}\right)^2.
$$
Раскрываем скобки и сокращаем на $4$:
$$
\left(\frac{a}{2}-11.5-x\right)^2 + h^2 = \left(a-x\right)^2.
$$
С другой стороны, высота трапеции равна
$$
h = \sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + x^2} = \sqrt{(23+2x)^2 + x^2}.
$$
Теперь осталось решить систему из двух уравнений относительно $a$ и $x$, после чего найти угол при большем основании, который равен
$$
\arctan\frac{h}{a-b/2}.
$$
Подставляя значения, получаем, что
$$
a = 38,\quad b = 14,\quad x = 7,\quad h = \sqrt{628},\quad \tan\alpha = \frac{\sqrt{628}}{12}.
$$
Ответ: $\alpha \approx 1.41^\circ$.
По условию задачи, $x$ можно найти из уравнения на диагонали:
$$
\frac{a-b}{2} = \frac{17.5}{2} + x + \frac{5.5}{2} + x,
$$
откуда
$$
a - b = 23 + 2x.
$$
С другой стороны, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями трапеции и её параллельными основаниями, имеем
$$
\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,
$$
где $h$ — высота трапеции. Подставляем выражение для $b$ и упрощаем:
$$
\left(\frac{a-23-2x}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{a+a-2x}{2}\right)^2.
$$
Раскрываем скобки и сокращаем на $4$:
$$
\left(\frac{a}{2}-11.5-x\right)^2 + h^2 = \left(a-x\right)^2.
$$
С другой стороны, высота трапеции равна
$$
h = \sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + x^2} = \sqrt{(23+2x)^2 + x^2}.
$$
Теперь осталось решить систему из двух уравнений относительно $a$ и $x$, после чего найти угол при большем основании, который равен
$$
\arctan\frac{h}{a-b/2}.
$$
Подставляя значения, получаем, что
$$
a = 38,\quad b = 14,\quad x = 7,\quad h = \sqrt{628},\quad \tan\alpha = \frac{\sqrt{628}}{12}.
$$
Ответ: $\alpha \approx 1.41^\circ$.
0
·
Хороший ответ
1 мая 2023 12:12
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Научная конференция проводится 3 дня Всего запланировано 50 докладов в первый день 18 кладов остальные распределены поровну между вторым и третьим дня...
Вычислите: a) какое число меньше числа 31294 на 18645 б) на сколько число 63043 больше числа 61625...
На гранях кубика написаны числа 1,2,3,4,5,6. кубик бросают дважды. первый раз сумма чисел, что выпали на боковых гранях, равна 13, а второй раз - 16....
Компоненты действий сложения,вычитания,умножения,деления...
Помогите пожалуйста решить. Каждую из данных фигур изобразите в масштабе 1:5...