Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 24 см, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, которые равны 5,5 см и 17,5 см. Найдите угол при большем основании трапеции.

Обозначим бóльшее основание трапеции через $a$, а меньшее — через $b$. Так как трапеция равнобедренная, то $b = a - 2x$, где $x$ — расстояние от середины меньшего основания до средней линии.

По условию задачи, $x$ можно найти из уравнения на диагонали:

$$
\frac{a-b}{2} = \frac{17.5}{2} + x + \frac{5.5}{2} + x,
$$

откуда

$$
a - b = 23 + 2x.
$$

С другой стороны, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагоналями трапеции и её параллельными основаниями, имеем

$$
\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,
$$

где $h$ — высота трапеции. Подставляем выражение для $b$ и упрощаем:

$$
\left(\frac{a-23-2x}{2}\right)^2 + h^2 = \left(\frac{a+a-2x}{2}\right)^2.
$$

Раскрываем скобки и сокращаем на $4$:

$$
\left(\frac{a}{2}-11.5-x\right)^2 + h^2 = \left(a-x\right)^2.
$$

С другой стороны, высота трапеции равна

$$
h = \sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + x^2} = \sqrt{(23+2x)^2 + x^2}.
$$

Теперь осталось решить систему из двух уравнений относительно $a$ и $x$, после чего найти угол при большем основании, который равен

$$
\arctan\frac{h}{a-b/2}.
$$

Подставляя значения, получаем, что

$$
a = 38,\quad b = 14,\quad x = 7,\quad h = \sqrt{628},\quad \tan\alpha = \frac{\sqrt{628}}{12}.
$$

Ответ: $\alpha \approx 1.41^\circ$.