1. Найдите множество значений свободной переменной, при которых будет
2. истинным предикат:
3. a. ∀𝑥(𝑥+|𝑦|>2)→(𝑥+𝑦>3). b. ∀𝑦:𝑥2−𝑦2=1;
4. c. ∃𝑥(𝑎2−1)𝑥=𝑎+1.
5. 
   

A. Для того, чтобы предикат был истинным, необходимо, чтобы условие в импликации также было истинным. То есть, если ∀𝑥(𝑥+|𝑦|>2), то (𝑥+𝑦>3). Рассмотрим два случая:

1. Если 𝑦≥0, то |𝑦|=𝑦, и условие из предиката будет выполнено для любого 𝑥>2−𝑦. Тогда, чтобы импликация была истинной, необходимо, чтобы 𝑥+𝑦>3, то есть 𝑥>3−𝑦.
2. Если 𝑦<0, то |𝑦|=−𝑦, и условие из предиката будет выполнено для любого 𝑥>2+𝑦. Тогда, чтобы импликация была истинной, необходимо, чтобы 𝑥+𝑦>3, то есть 𝑥>3+𝑦.

Таким образом, множество значений свободной переменной 𝑥, при которых предикат будет истинным, равно объединению двух интервалов: (2−𝑦,3−𝑦) и (2+𝑦,3+𝑦).

b. Равенство 𝑥2−𝑦2=1 можно переписать как (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=1. Так как мы рассматриваем все возможные значения 𝑦, то нужно рассмотреть два случая:

1. Если 𝑦=0, то (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=𝑥2=1, то есть 𝑥=±1.
2. Если 𝑦≠0, то (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)=1. Так как произведение двух чисел равно 1 только тогда, когда оба числа равны 1 или оба числа равны −1, то получаем два уравнения:

- 𝑥+𝑦=1, 𝑥−𝑦=1, откуда 𝑥=1, 𝑦=0.
- 𝑥+𝑦=−1, 𝑥−𝑦=−1, откуда 𝑥=−1, 𝑦=0.

Таким образом, множество значений свободной переменной 𝑥, при которых предикат будет истинным, равно {−1,1}.

c. Условие предиката можно переписать как (𝑎2−1)𝑥−(𝑎+1)=0. Это уравнение имеет решение 𝑥=(𝑎+1)/(𝑎2−1) только тогда, когда знаменатель отличен от нуля. Значит, множество значений свободной переменной 𝑥, при которых предикат будет истинным, равно множеству всех 𝑥, для которых 𝑎2−1≠0, то есть 𝑎≠±1.