Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников. 

Пусть $ABC$ и $ABD$ - два равнобедренных треугольника с общим основанием $AB$ и углом между плоскостями $60^\circ$. Пусть $AC=BC=17$ и $BD$ перпендикулярна к $AB$. Тогда $BD$ является высотой треугольника $ABD$, а $AD=BD$.

Пусть $E$ и $F$ - середины боковых сторон $AC$ и $BD$ соответственно. Тогда треугольник $ABE$ равнобедренный, а $\angle AEB = 60^\circ$. Значит, $AE=BE=\frac{AB}{2}=8$.

Треугольник $ABD$ также равнобедренный, поэтому $AF=FB=FD$. Значит, $AD=2AF=2FD$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AFD$. По теореме Пифагора:

$$
FD^2 = AD^2 - AF^2 = (2AF)^2 - AF^2 = 3AF^2.
$$

Так как $FD=BE$, то:

$$
BE^2 = 3AF^2.
$$

Также заметим, что треугольник $BFE$ равнобедренный, поэтому $EF=BE=8$.

Теперь рассмотрим треугольник $AEF$. Он также равнобедренный, поэтому $AF=EF=8$. Тогда:

$$
AB = 2AE = 16,\quad FD = BE = 4\sqrt{3},\quad AF = EF = 8.
$$

Теперь можем найти расстояние между вершинами треугольников:

$$
\sqrt{(AB+FD)^2 + AF^2} = \sqrt{(16+4\sqrt{3})^2 + 8^2} \approx 25.6.
$$

Ответ: расстояние между вершинами треугольников примерно равно 25.6 м.