В окружности проведены две параллельные хорды АВ и СМ. ВС – диаметр. Докажите, что АС = ВМ.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойством окружностей: если две хорды параллельны, то соответствующие дуги равны.

Пусть точки А и В лежат на хорде АВ, а точки С и М – на хорде СМ. Также пусть точка О – центр окружности, а радиус равен r.

Так как ВС – диаметр, то ВО – радиус, а значит, ВО = r.

Так как АВ || СМ, то дуга АС равна дуге ВМ. Обозначим их через α.

Тогда дуга АВ равна дуге СМ, обозначим их через β.

Так как ВО – радиус, то угол ВОА равен 90°. Аналогично, угол СОМ равен 90°.

Тогда угол АОС равен сумме углов ВОА и СОМ, то есть 90° + 90° = 180°.

Также угол АОС равен углу, соответствующему дуге α, то есть α = 180°.

Аналогично, угол ВОМ равен углу, соответствующему дуге α, то есть α = 180°.

Так как α = α, то дуга АС равна дуге ВМ, то есть AC = BM.