В окружности проведены две хорды АВ и CЕ, причем точки А и Е лежат по разные стороны от диаметра ВС. АВ = СЕ

Докажите, что АС ║ ВЕ.

Для решения задачи воспользуемся свойством окружности, что угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.

Пусть точки М и N - середины отрезков АВ и СЕ соответственно, а точка О - центр окружности.

Так как АВ = СЕ, то МN является высотой равнобедренной трапеции АВСЕ. Значит, МН ║ АС ║ ВЕ.

Также, угол АОС равен углу ВОЕ, так как они опираются на равные дуги. Значит, углы АСО и ВЕО равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольники АСО и ВЕО. У них равны два угла: угол АСО равен углу ВЕО, а угол АОС равен углу ВОЕ. Значит, третий угол в каждом из этих треугольников также равен. Значит, треугольники АСО и ВЕО подобны.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. То есть,

$$\frac{AS}{BV} = \frac{AO}{BO} = \frac{EO}{CO} = \frac{EV}{CV}$$

Так как АВ = СЕ, то AS = EV и BV = CV. Поэтому,

$$\frac{AS}{BV} = \frac{EV}{CV}$$

Отсюда следует, что AS = EV и углы АСО и ВЕО равны между собой. Значит, АС ║ ВЕ.