В окружности проведены две хорды АВ и CЕ, причем точки А и Е лежат по разные стороны от диаметра ВС. АВ = СЕ

Докажите, что АС ║ ВЕ.

Для решения данной задачи можно воспользоваться свойством перпендикулярных хорд: если в окружности проведены две перпендикулярные хорды, то их середины и центр окружности лежат на одной прямой.

Пусть точки M и N - середины хорд AB и CE соответственно, а O - центр окружности.

Так как AB = CE, то AM = CN. Также из свойств хорд следует, что AM и CN перпендикулярны соответственно к EB и BV (так как EB и BV являются радиусами окружности, проведенными к точкам A и C).

Таким образом, мы получаем, что AM ║ CN.

Из свойства перпендикулярных хорд следует, что М, N и O лежат на одной прямой.

Так как AM ║ CN, то прямые AN и CM также параллельны друг другу (так как они соответственные стороны параллелограмма AMCN).

Но AN = CM (так как это равнобедренная трапеция), поэтому ANCM - это параллелограмм.

Значит, AC ║ MN.

Но MN - это средняя линия в треугольнике BEV, поэтому MN ║ VE.

Из двух последних утверждений следует, что AC ║ VE.

Но AC - это касательная к окружности, проведенная к точке А, а VE - это хорда, проведенная через точку Е. Так как касательная и хорда, проведенная через точку касания, перпендикулярны друг другу, то AC ║ VE.

Но AC ║ VE и AB = CE, поэтому АС ║ ВЕ. Задача доказана.