1. В треугольнике ABC угол B равен 20◦ , угол C равен 40◦ . Биссектриса AD равна 2. Найдите
2. разность сторон BC и AB.
3. 
   

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AB}{\sin\angle B}=\frac{BC}{\sin\angle C}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{AB}{\sin 20^\circ}=\frac{BC}{\sin 40^\circ}$$

Выразим $AB$ через $BC$:

$$AB=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}BC$$

Так как $AD$ является биссектрисой угла $A$, то:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$

Так как $BD=BC-CD$, то:

$$\frac{BC-CD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$

Подставим выражение для $AB$:

$$\frac{BC-CD}{DC}=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\cdot\frac{BC}{AC}$$

Так как $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 120^\circ$, то:

$$\angle ABD = \frac{1}{2}\angle A = 60^\circ$$

Тогда:

$$\frac{BD}{\sin\angle ABD}=\frac{AB}{\sin\angle B}$$

Подставим выражение для $AB$:

$$\frac{BD}{\sin 60^\circ}=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\cdot\frac{BC}{\sin 20^\circ}$$

Упростим:

$$BD=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\cdot BC$$

Так как $BD=BC-CD$, то:

$$BC-CD=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\cdot BC$$

Выразим $CD$ через $BC$:

$$CD=\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\right)\cdot BC$$

Таким образом, разность сторон $BC$ и $AB$ равна:

$$BC-AB=BC-\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\cdot BC=\left(1-\frac{\sin 20^\circ}{\sin 40^\circ}\right)\cdot BC=\frac{\sin 20^\circ}{\sin 70^\circ}\cdot BC\approx 0.42\cdot BC$$

Ответ: разность сторон $BC$ и $AB$ примерно равна $0.42$ длины стороны $BC$.