Лучшие помощники
- Megamozg 2190 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1690 б
- arkasha_bortnikov 855 б
- Dwayne_Johnson 845 б
9 мая 2023 05:09
140
доказать, что куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, будучи увеличенным или уменьшенным на 1, делится на 9
1
ответ
Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.
Базовый шаг:
При n = 1 куб любого натурального числа равен 1, что не делится на 9. Однако, увеличенное или уменьшенное на 1, число 2 делится на 9 (2^3 = 8, 3^3 = 27).
Шаг индукции:
Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел меньше n. Докажем, что оно верно и для n.
Рассмотрим три случая:
1) Если n кратно 3, то n^3 кратно 27, что делится на 9.
2) Если n = 3k + 1, то n^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1. Первые три слагаемых делятся на 9, а остаток равен 1. Таким образом, увеличенное на 1 число 3k + 2 будет кратно 3 и не будет кратно 9, а уменьшенное на 1 число 3k будет кратно 3 и не будет кратно 9.
3) Если n = 3k + 2, то n^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8. Первые три слагаемых делятся на 9, а остаток равен 8. Таким образом, увеличенное на 1 число 3k + 3 будет кратно 3 и не будет кратно 9, а уменьшенное на 1 число 3k + 1 будет кратно 3 и не будет кратно 9.
Таким образом, мы доказали, что куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, будучи увеличенным или уменьшенным на 1, делится на 9.
Базовый шаг:
При n = 1 куб любого натурального числа равен 1, что не делится на 9. Однако, увеличенное или уменьшенное на 1, число 2 делится на 9 (2^3 = 8, 3^3 = 27).
Шаг индукции:
Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел меньше n. Докажем, что оно верно и для n.
Рассмотрим три случая:
1) Если n кратно 3, то n^3 кратно 27, что делится на 9.
2) Если n = 3k + 1, то n^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1. Первые три слагаемых делятся на 9, а остаток равен 1. Таким образом, увеличенное на 1 число 3k + 2 будет кратно 3 и не будет кратно 9, а уменьшенное на 1 число 3k будет кратно 3 и не будет кратно 9.
3) Если n = 3k + 2, то n^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8. Первые три слагаемых делятся на 9, а остаток равен 8. Таким образом, увеличенное на 1 число 3k + 3 будет кратно 3 и не будет кратно 9, а уменьшенное на 1 число 3k + 1 будет кратно 3 и не будет кратно 9.
Таким образом, мы доказали, что куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, будучи увеличенным или уменьшенным на 1, делится на 9.
1
·
Хороший ответ
9 мая 2023 05:09
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Какую дробь получим, если развернем '1 от 7000'?...
Измерить длину окружности ведра и стакана, а также их диаметр. Найти отношение длины окружности к диаметру обоих сосудов....
Как найти ширину прямоугольника если известен периметр и длина...
Какие значения может принимать результат вычисления tg2a?...
Какое число является четным в задании?...
Все предметы