доказать, что куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, будучи увеличенным или уменьшенным на 1, делится на 9

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Базовый шаг:
При n = 1 куб любого натурального числа равен 1, что не делится на 9. Однако, увеличенное или уменьшенное на 1, число 2 делится на 9 (2^3 = 8, 3^3 = 27).

Шаг индукции:
Пусть утверждение верно для всех натуральных чисел меньше n. Докажем, что оно верно и для n.

Рассмотрим три случая:

1) Если n кратно 3, то n^3 кратно 27, что делится на 9.

2) Если n = 3k + 1, то n^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1. Первые три слагаемых делятся на 9, а остаток равен 1. Таким образом, увеличенное на 1 число 3k + 2 будет кратно 3 и не будет кратно 9, а уменьшенное на 1 число 3k будет кратно 3 и не будет кратно 9.

3) Если n = 3k + 2, то n^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8. Первые три слагаемых делятся на 9, а остаток равен 8. Таким образом, увеличенное на 1 число 3k + 3 будет кратно 3 и не будет кратно 9, а уменьшенное на 1 число 3k + 1 будет кратно 3 и не будет кратно 9.

Таким образом, мы доказали, что куб любого натурального числа либо делится на 9, либо, будучи увеличенным или уменьшенным на 1, делится на 9.