доказать, что при любом натуральном n,(6^2n+3^(n+2)+3^n):11

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами арифметики остатков.

Заметим, что 6 ≡ -5 (mod 11), так как 6 - (-5) = 11, а 11 делится на 11 без остатка. Тогда 6^2 ≡ (-5)^2 ≡ 25 ≡ 3 (mod 11).

Аналогично, 3 ≡ -8 (mod 11), так как 3 + 8 = 11, а 11 делится на 11 без остатка. Тогда 3^n ≡ (-8)^n (mod 11).

Таким образом,

6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n ≡ 3 + (-8)^(n+2) + (-8)^n (mod 11).

Заметим, что (-8)^2 ≡ 64 ≡ 7 (mod 11), а (-8)^3 ≡ -512 ≡ -1 (mod 11). Тогда:

(-8)^n ≡ (-8)^(n-3) * (-8)^3 ≡ (-8)^(n-3) * (-1) ≡ -(-8)^(n-3) (mod 11).

Таким образом,

6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n ≡ 3 + (-8)^(n+2) + (-8)^n ≡ 3 - 7 + (-1)^n * (-8)^(n-3) ≡ -4 + (-1)^n * (-8)^(n-3) (mod 11).

Но заметим, что (-8)^(n-3) всегда равно либо 1, либо -1, в зависимости от четности n-3. Тогда (-1)^n * (-8)^(n-3) всегда равно либо 1, либо -1.

Таким образом,

6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n ≡ -4 + (-1)^n * (-8)^(n-3) ≡ -4 + 1 или -4 + (-1) (mod 11).

В обоих случаях получаем, что

6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n ≡ -3 ≡ 8 (mod 11).

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном n,

(6^(2n) + 3^(n+2) + 3^n) делится на 11 с остатком 8.