1. Перечислить элементы множества, заданного словесно. Найти мощность этого

множества:

Множество целых чисел, принадлежащих интервалу (-1; 13)

2. Перечислить элементы множества, заданного характеристическим свойством,

найти мощность множества.

{ , ( 3 2)( 10) 0} 2 X = x x R x − x + x + =

3. Придумать два конечных числовых или буквенных множества А и В (состоящих

не менее чем из 5 элементов). Найти их объединение, пересечение, разность

А\В, В\А, декартово произведение А на В, В на А, А на А.

4. Доказать равенство двух множеств двумя способами:

а) А \ (В  С) = (А \ В) \ С

б) A (A B) = A

5. В делегации 6 человек, знающих французский или немецкий язык. Трое из них

говорят только на французском, двое – только на немецком. Сколько человек

говорят на двух языках – французском и немецком?

1. Элементы множества целых чисел, принадлежащих интервалу (-1; 13): {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Мощность этого множества равна 14.
2. Множество, заданное характеристическим свойством: {x ∈ R | x^3 - 2x^2 + x = 0}. Решая уравнение x^3 - 2x^2 + x = 0, получаем корни x = 0, x = 1, x = 2. Таким образом, множество равно {0, 1, 2}. Его мощность равна 3.
3. Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7, 8}. Тогда:
- объединение А и В: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
- пересечение А и В: {4, 5};
- разность А\В: {1, 2, 3};
- разность В\А: {6, 7, 8};
- декартово произведение А на В: {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 7), (5, 8)};
- декартово произведение В на А: {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (7, 5), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4), (8, 5)};
- декартово произведение А на А: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.
4. a) Докажем равенство А \ (В  С) = (А \ В) \ С двумя способами:
Первый способ:
А \ (В  С) = {x | x ∈ А и x ∉ (В  С)} (определение разности множеств)
= {x | x ∈ А и x ∉ В и x ∉ С} (определение объединения множеств)
= {x | x ∈ А и x ∉ В} \ {x | x ∈ С} (определение разности множеств)
= (А \ В) \ С (определение разности множеств)
Второй способ:
(А \ В) \ С = {x | x ∈ А и x ∉ В и x ∉ С} (определение разности множеств)
= {x | x ∈ А и x ∉ (В  С)} (определение объединения множеств)
= А \ (В  С) (определение разности множеств)
Таким образом, равенство А \ (В  С) = (А \ В) \ С доказано.
б) Докажем равенство A (A B) = A двумя способами:
Первый способ:
A (A B) = {x | x ∈ A и x ∈ (A B)} (определение пересечения множеств)
= {x | x ∈ A} (определение объединения множеств)
= A (определение равенства множеств)
Второй способ:
A (A B) ⊆ A (определение пересечения множеств)
A ⊆ A B (определение объединения множеств)
A ⊆ A (A B) (определение пересечения множеств)
Таким образом, A (A B) = A доказано.
5. По условию задачи, трое из 6 человек говорят только на французском языке, а двое говорят только на немецком. Пусть x человек говорят на двух языках. Тогда общее количество людей, говорящих на французском языке, равно 3 + x, а на немецком - 2 + x. Суммируя эти числа, получаем общее количество людей в делегации: 3 + x + 2 + x = 5 + 2x. Так как всего в делегации 6 человек, то 5 + 2x = 6, откуда x = 1. Таким образом, только один человек говорит на двух языках.