Дано:

∆𝐾𝐿𝑀, 𝑁∈𝐾𝐿, 𝑁𝑂⊥𝐾𝑀, 𝑃∈𝑀𝐿, 𝑃𝑅⊥𝐾𝑀, 𝑁𝑂=𝑃𝑅, ∠𝐾𝑁𝑂 = ∠𝑀𝑃𝑅.

Доказать:

𝐾𝐿 = 𝑀𝐿.

Из условия дано, что ∆𝐾𝐿𝑀 - треугольник, 𝑁∈𝐾𝐿, 𝑃∈𝑀𝐿, 𝑁𝑂⊥𝐾𝑀, 𝑃𝑅⊥𝐾𝑀, 𝑁𝑂=𝑃𝑅, ∠𝐾𝑁𝑂 = ∠𝑀𝑃𝑅.

Так как 𝑁𝑂=𝑃𝑅 и ∠𝐾𝑁𝑂 = ∠𝑀𝑃𝑅, то треугольники 𝐾𝑁𝑂 и 𝑀𝑃𝑅 равны по стороне-стороне-углу.

Следовательно, ∠𝐾𝑁𝑃 = ∠𝑀𝑃𝑁.

Так как 𝑁𝑂⊥𝐾𝑀 и 𝑃𝑅⊥𝐾𝑀, то 𝑁𝑃∥𝑃𝑅.

Отсюда следует, что ∠𝑁𝑃𝐾 = ∠𝑃𝑅𝑀.

Также из условия 𝑁𝑂=𝑃𝑅 следует, что 𝑁𝑃=𝑃𝑅.

Из этих равенств следует, что треугольники 𝐾𝑁𝑃 и 𝑀𝑃𝑁 равны по стороне-стороне-стороне.

Следовательно, 𝐾𝑃=𝑀𝑁.

Но 𝑁∈𝐾𝐿 и 𝑃∈𝑀𝐿, поэтому 𝐾𝑃=𝑁𝑃+𝑁𝐿 и 𝑀𝑁=𝑃𝑁+𝑃𝑀.

Так как 𝑁𝑂=𝑃𝑅, то 𝑁𝑃=𝑃𝑀.

Подставляя это равенство в предыдущее, получаем, что 𝐾𝑃=𝑀𝑁=𝑁𝑃+𝑁𝐿=𝑃𝑀+𝑁𝐿.

Так как 𝑁𝑂⊥𝐾𝑀 и 𝑃𝑅⊥𝐾𝑀, то и 𝑁𝐿⊥𝐾𝑀 и 𝑃𝑀⊥𝐾𝑀.

Отсюда следует, что 𝑁𝐿=𝑃𝑀.

Подставляя это равенство в предыдущее, получаем, что 𝐾𝑃=𝑀𝑁=𝑃𝑀+𝑁𝐿=𝑃𝑀+𝑃𝑀=2𝑃𝑀.

Значит, 𝑀𝐿=𝑀𝑁+𝑁𝐿=𝐾𝑃+𝑁𝐿=2𝑝𝑀+𝑁𝐿.

Так как 𝑁𝐿=𝑃𝑀, то 𝑀𝐿=2𝑃𝑀+𝑃𝑀=3𝑝𝑀.

Отсюда следует, что 𝑀𝐿=3𝑝𝑀=2𝑝𝑀+𝑁𝐿=𝐾𝑃+𝑁𝐿=𝐾𝐿.

Таким образом, мы доказали, что 𝐾𝐿 = 𝑀𝐿.