Дано:

Задание 9. 3 балла Дано:

𝑙–прямая. 𝑊∉𝑙; 𝑊𝑋⊥𝑙; 𝑋,𝑌,𝑍∈𝑙; [𝑊𝑋)внутри ∠𝑌𝑊𝑍; ∠𝑊𝑍𝑌=50°

Cравнить:

Отрезки 𝑌𝑊 и 𝑋𝑍.

  ∆𝑃𝑄𝑅=∆𝑆𝑇𝑈,

𝑄𝑄 =𝑇𝑇 –высоты,

11 ∠𝑄𝑅𝑃=∠𝑇𝑈𝑆

Доказать:

∠𝑄𝑃𝑅 = ∠𝑇𝑆𝑈

Для начала построим данную ситуацию:


Так как отрезки $WX$ и $YZ$ являются перпендикулярами к прямой $l$, то они параллельны между собой. Значит, угол $\angle WYZ$ равен углу $\angle WXY$ (они соответственные).

Также, угол $\angle WZY$ равен $50^\circ$, а значит, угол $\angle WYX$ равен $180^\circ - 50^\circ - 90^\circ = 40^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольники $WYX$ и $ZXY$. Они имеют общую сторону $XY$ и равные углы при вершине $X$ (они вертикальные). Значит, эти треугольники подобны. А значит, отношение сторон $WY$ и $XZ$ равно отношению сторон $XY$ и $XW$:

$$\frac{WY}{XZ} = \frac{XY}{XW}$$

Но мы знаем, что отрезки $WX$ и $YZ$ параллельны, а значит, треугольники $WXY$ и $ZYZ$ подобны. Из этого следует, что отношение сторон $XY$ и $XW$ равно отношению сторон $YZ$ и $ZW$:

$$\frac{XY}{XW} = \frac{YZ}{ZW}$$

Таким образом, мы получили:

$$\frac{WY}{XZ} = \frac{XY}{XW} = \frac{YZ}{ZW}$$

Отсюда следует, что отрезки $WY$ и $XZ$ равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольники $PQR$ и $STU$. Они имеют общую сторону $PQ$ и равные углы при вершине $P$ и $T$ (они вертикальные). Значит, эти треугольники подобны. А значит, отношение высот $QQ'$ и $TT'$ равно отношению сторон $PQ$ и $ST$:

$$\frac{QQ'}{TT'} = \frac{PQ}{ST}$$

Но мы знаем, что угол $\angle PQR$ равен углу $\angle STU$ (они вертикальные). А значит, треугольники $PQR$ и $STU$ подобны. Из этого следует, что отношение сторон $PQ$ и $ST$ равно отношению сторон $QR$ и $TU$:

$$\frac{PQ}{ST} = \frac{QR}{TU}$$

Таким образом, мы получили:

$$\frac{QQ'}{TT'} = \frac{PQ}{ST} = \frac{QR}{TU}$$

Отсюда следует, что отрезки $QQ'$ и $TT'$ равны между собой.

Таким образом, мы доказали, что отрезки $WY$ и $XZ$ равны между собой, а отрезки $QQ'$ и $TT'$ также равны между собой. А значит, треугольники $WYX$ и $ZXY$ подобны треугольникам $PQR$ и $STU$ (по двум сторонам и углу между ними).

Из подобия треугольников следует, что угол $\angle QPR$ равен углу $\angle TSU$ (они соответственные). А значит, угол $\angle QPR$ равен углу $\angle TSU$.

Что и требовалось доказать.