Докажите тождество 3/(2a – 3) – (8a3 – 18a)/(4a2 + 9) • (2a/(4a2 – 12a + 9) – 3/(4a2 – 9)) = –1.

Для начала приведем все дроби к общему знаменателю (4a^2 - 9)(2a - 3):

3/(2a - 3) = (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9))

(8a^3 - 18a)/(4a^2 + 9) = (2a(4a^2 - 9) - 3(2a^2 + 3))/(4a^2 + 9) = (2a(4a^2 - 9))/(4a^2 + 9) - (3(2a^2 + 3))/(4a^2 + 9) = (2a(4a^2 - 9)(2a - 3))/((4a^2 + 9)(2a - 3)) - (3(2a^2 + 3))/((4a^2 + 9)(2a - 3))

2a/(4a^2 - 12a + 9) = (2a)/((2a - 3)(2a - 3))

3/(4a^2 - 9) = (3)/((2a - 3)(2a + 3))

Теперь подставим все выражения в исходное тождество и приведем подобные слагаемые:

(3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - ((2a(4a^2 - 9)(2a - 3))/((4a^2 + 9)(2a - 3)) - (3(2a^2 + 3))/((4a^2 + 9)(2a - 3))) • ((2a)/((2a - 3)(2a - 3)) - (3)/((2a - 3)(2a + 3))) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - ((2a(4a^2 - 9))/((4a^2 + 9)) - (3(2a^2 + 3))/((4a^2 + 9))) • ((2a)/((2a - 3)(2a - 3)) - (3)/((2a - 3)(2a + 3))) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - ((2a(4a^2 - 9))/((4a^2 + 9)) - (3(2a^2 + 3))/((4a^2 + 9))) • ((2a + 3 - 6a)/((2a - 3)(2a + 3))) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - ((2a(4a^2 - 9))/((4a^2 + 9)) - (3(2a^2 + 3))/((4a^2 + 9))) • ((-4a)/((2a - 3)(4a^2 - 9))) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - ((-8a^2 + 18)/((4a^2 + 9))) • ((-4a)/((2a - 3)(4a^2 - 9))) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) + ((8a^2 - 18)/(4a^2 + 9)) • ((-4a)/((2a - 3)(4a^2 - 9))) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - ((8a^3 - 18a)/(4a^2 + 9)) • (2a)/((2a - 3)(4a^2 - 9)) =

= (3(4a^2 - 9))/((2a - 3)(4a^2 - 9)) - (8a^3 - 18a)(2a)/((4a^2 + 9)(2a - 3)(4a^2 - 9)) =

= (3(4a^2 - 9)(4a^2 + 9) - (8a^3 - 18a)(2a)(2a - 3))/((2a - 3)(4a^2 - 9)(4a^2 + 9)) =

= (48a^4 - 81)/((2a - 3)(4a^2 - 9)(4a^2 + 9)).

Таким образом, мы получили, что левая часть исходного тождества равна (48a^4 - 81)/((2a - 3)(4a^2 - 9)(4a^2 + 9)). Осталось проверить, что это действительно равно -1:

(48a^4 - 81)/((2a - 3)(4a^2 - 9)(4a^2 + 9)) = -1

48a^4 - 81 = -(2a - 3)(4a^2 - 9)(4a^2 + 9)

48a^4 - 81 = -(2a - 3)(16a^4 - 25)

48a^4 - 81 = -32a^5 + 54a^4 + 15a - 45

32a^5 - 6a^4 - 15a + 126 = 0

Это уравнение действительно имеет корень a = 3/2, что соответствует значению знаменателя, равному нулю. Однако, при подстановке этого значения в исходное тождество обе его стороны становятся неопределенными, так как в знаменателях появляются нули. Поэтому, исходное тождество не верно для любого значения переменной a.