Найти все подходящие дроби к цепной дроби. 

 (3; 5, 1, 1, 2)

Для того, чтобы найти все подходящие дроби к данной цепной дроби, нужно последовательно вычислить ее частные приближения. Частное приближение $p_n/q_n$ находится по формулам:

$p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2}$

$q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}$

где $a_n$ - $n$-ый элемент цепной дроби, $p_{-1} = 1$, $p_{-2} = 0$, $q_{-1} = 0$, $q_{-2} = 1$.

Для данной цепной дроби получим следующие частные приближения:

$p_{-2} = 0, q_{-2} = 1$

$p_{-1} = 1, q_{-1} = 0$

$p_0 = a_0 p_{-1} + p_{-2} = 3 \cdot 1 + 0 = 3, q_0 = a_0 q_{-1} + q_{-2} = 3 \cdot 0 + 1 = 1$

$p_1 = a_1 p_0 + p_{-1} = 5 \cdot 3 + 1 = 16, q_1 = a_1 q_0 + q_{-1} = 5 \cdot 1 + 0 = 5$

$p_2 = a_2 p_1 + p_0 = 1 \cdot 16 + 3 = 19, q_2 = a_2 q_1 + q_0 = 1 \cdot 5 + 1 = 6$

$p_3 = a_3 p_2 + p_1 = 1 \cdot 19 + 16 = 35, q_3 = a_3 q_2 + q_1 = 1 \cdot 6 + 5 = 11$

$p_4 = a_4 p_3 + p_2 = 2 \cdot 35 + 19 = 89, q_4 = a_4 q_3 + q_2 = 2 \cdot 11 + 6 = 28$

Таким образом, все подходящие дроби к данной цепной дроби будут иметь вид $p_n/q_n$, где $n \in \mathbb{N}$, их можно записать в виде:

$\frac{0}{1}, \frac{1}{0}, \frac{3}{1}, \frac{16}{5}, \frac{19}{6}, \frac{35}{11}, \frac{89}{28}, ...$