Пользуясь определением ( по алгоритму: 1)Найдите область определения и выяснить является ли функция непрерывной. 2)y`(x)- найти производную. 3) решить уравнение y`(x)=0 4) Построить диаграмму производной y`(x) 5)Определить монотонность функции, используя признаки возрастания, убывания функции.) , найдите производную функции:

f(x)=7x^4-5x^3-x+25

1) Область определения функции f(x) не ограничена, т.е. f(x) определена на всей числовой прямой (-∞;+∞). Функция непрерывна на всей своей области определения.

2) Найдем производную функции f(x) по переменной x:
f'(x) = 28x^3 - 15x^2 - 1

3) Решим уравнение y'(x) = 0:
28x^3 - 15x^2 - 1 = 0
Данное уравнение не может быть решено аналитически, поэтому нужно использовать численные методы для нахождения корней.

4) Построим диаграмму производной функции f(x):


5) Определим монотонность функции, используя признаки возрастания и убывания функции. Для этого найдем точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, и разобьем числовую прямую на интервалы между этими точками. Затем, анализируя знак производной на каждом интервале, определим монотонность функции на этом интервале.

Из диаграммы производной видно, что функция возрастает на интервалах (-∞;-0.68) и (0.55;+∞) и убывает на интервале (-0.68;0.55). Таким образом, функция f(x) монотонно возрастает на интервалах (-∞;-0.68) и (0.55;+∞) и монотонно убывает на интервале (-0.68;0.55).