242. в правильной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего осно- ваний соответственно равны 2√3 дм и 4 √3 дм, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен 60°. найдите объем пирамиды, если она: а) четырехугольная;

СДЕЛАЙТЕ НОРМАЛЬНЫЙ РИСУНОК

Для начала нарисуем правильную усеченную пирамиду:


Объем усеченной пирамиды можно найти по формуле:

$V = \frac{1}{3}h(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2)$

где $h$ - высота усеченной пирамиды, $S_1$ и $S_2$ - площади верхнего и нижнего оснований соответственно.

Чтобы найти высоту $h$, воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой гранью, ребром нижнего основания и высотой $h$:

$(2\sqrt{3})^2 = (h + \frac{h}{2})^2 + r^2$

$r$ здесь - радиус вписанной окружности в основание, который мы также должны найти. Заметим, что радиус вписанной окружности в верхнее основание равен половине стороны основания, то есть $r_1 = \sqrt{3}$.

Так как двугранный угол при ребре нижнего основания равен 60°, то боковая грань является равносторонним треугольником со стороной $4\sqrt{3}$.

Тогда:

$r = \frac{1}{3}h$

$(2\sqrt{3})^2 = (\frac{3h}{2})^2 + (\frac{h}{3})^2$

$h = 4\sqrt{3}$

$r = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Теперь мы можем найти площади оснований:

$S_1 = 3\sqrt{3}$

$S_2 = 12\sqrt{3}$

И, наконец, объем усеченной пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot (3\sqrt{3} + \sqrt{3\cdot12\sqrt{3}} + 12\sqrt{3}) = \frac{32\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}}{3}$ кубических дециметра.