3. Напряженность и потенциал поля объемного заряда. Теорема Остроградского- Гаусса.

На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями s1 и s2 (см. рис.). Требуется: 1)используя теорему Остроградского- Гаусса, найти зависимость Е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II, III. Принять s1=-4s, s2=s; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора Е. Принять s=50нКл/м2, r=1,5R; 3)построить график Е(r). 


1) Для каждой области выберем замкнутую поверхность, через которую будем проводить поток электрического поля. Воспользуемся симметрией задачи и выберем сферические поверхности радиусом r для каждой области:

Для области I:
Поток через поверхность S1 будет равен потоку через поверхность сферы радиусом R, так как внутри области I поле равно нулю.
Формула для потока через сферу:
Φ = E * 4πR^2
По теореме Остроградского-Гаусса поток через поверхность S1 равен заряду, заключенному внутри поверхности:
Φ = Q/ε0 = s1 * 4πR^2/ε0
Отсюда находим напряженность поля в области I:
E1 = s1/ε0

Для области II:
Поток через поверхность S2 будет равен разности потоков через поверхности сфер радиусом R и 2R:
Φ = E * 4πR^2 - E * 4π(2R)^2 = -12E * πR^2
По теореме Остроградского-Гаусса поток через поверхность S2 равен заряду, заключенному внутри поверхности:
Φ = Q/ε0 = (s2 - s1) * 4πR^2/ε0
Отсюда находим напряженность поля в области II:
E2 = (s1 - s2)/(12ε0)

Для области III:
Поток через поверхность S3 будет равен потоку через поверхность сферы радиусом 2R, так как внутри области III поле равно нулю.
Формула для потока через сферу:
Φ = E * 4π(2R)^2
По теореме Остроградского-Гаусса поток через поверхность S3 равен заряду, заключенному внутри поверхности:
Φ = Q/ε0 = s2 * 4π(2R)^2/ε0
Отсюда находим напряженность поля в области III:
E3 = s2/(8ε0)

2) Подставим данные в формулу для напряженности поля в области II:
E2 = (s1 - s2)/(12ε0) = (-4s - s)/(12ε0) = -0.42 * 10^6 Н/Кл
Направление вектора напряженности поля будет направлено к центру сферы.

3) Построим график зависимости напряженности поля от расстояния r: