3. Напряженность и потенциал поля объемного заряда. Теорема Остроградского- Гаусса.

На двух концентрических сферах радиусом R и 2R равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями s1 и s2 (см. рис.). Требуется: 1)используя теорему Остроградского- Гаусса, найти зависимость Е(r) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: I, II, III. Принять s1=-4s, s2=s; 2) вычислить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние r, и указать направление вектора Е. Принять s=50нКл/м2, r=1,5R; 3)построить график Е(r). 

1) Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную.

Рассмотрим замкнутую поверхность в виде сферы радиуса r, где r < R. По теореме Остроградского-Гаусса, поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность равен заряду, заключенному внутри нее, деленному на электрическую постоянную:

Ф = Q/ε0

Заряд, заключенный внутри сферы радиуса r, равен объему этой сферы, умноженному на плотность заряда внутри нее:

Q = (4/3)πr^3s1

Таким образом, поток вектора напряженности электрического поля через сферу радиуса r равен:

Ф = (4/3)πr^3s1/ε0

По теореме Остроградского-Гаусса, этот поток также равен произведению напряженности электрического поля на площадь поверхности сферы:

Ф = 4πr^2E(r)

Отсюда следует, что напряженность электрического поля в области I (r < R) равна:

E(r) = (1/4πε0)(4/3)πr^3s1/(4πr^2) = rs1/(3ε0)

Аналогично, рассмотрим замкнутую поверхность в виде сферы радиуса r, где R < r < 2R. Заряд, заключенный внутри этой сферы, равен разности зарядов, заключенных внутри двух сфер радиусов r и R:

Q = (4/3)πr^3s1 - (4/3)πR^3s2

Поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность равен:

Ф = Q/ε0 = (4/3)π(r^3s1 - R^3s2)/ε0

По теореме Остроградского-Гаусса, этот поток также равен произведению напряженности электрического поля на площадь поверхности сферы:

Ф = 4πr^2E(r)

Отсюда следует, что напряженность электрического поля в области II (R < r < 2R) равна:

E(r) = (1/4πε0) (4/3)π(r^3s1 - R^3s2)/(4πr^2) = (rs1 - R^2s2/r)/(3ε0)

Наконец, рассмотрим замкнутую поверхность в виде сферы радиуса r, где r > 2R. Заряд, заключенный внутри этой сферы, равен разности зарядов, заключенных внутри двух сфер радиусов r и 2R:

Q = (4/3)πr^3s2 - (4/3)π(2R)^3s2

Поток вектора напряженности электрического поля через эту поверхность равен:

Ф = Q/ε0 = (4/3)π(r^3 - 8R^3)s2/ε0

По теореме Остроградского-Гаусса, этот поток также равен произведению напряженности электрического поля на площадь поверхности сферы:

Ф = 4πr^2E(r)

Отсюда следует, что напряженность электрического поля в области III (r > 2R) равна:

E(r) = (1/4πε0) (4/3)π(r^3 - 8R^3)s2/(4πr^2) = s2R^3/(ε0r^2)

2) Подставим значения s=50нКл/м2, r=1,5R в формулу для напряженности электрического поля в области I:

E(r) = rs1/(3ε0) = (-4s/3ε0)(1,5R) = -6,67*10^4 В/м

Направление вектора E определяется по правилу Лапласа-Ли-Менделеева: он направлен от области с большей плотностью заряда к области с меньшей плотностью заряда. В данном случае, так как s1 < s2, вектор E направлен от области II к области I.

3) Построим график зависимости E(r) для трех областей. Для этого, подставим значения s1=-4s, s2=s, R=1 в формулы для E(r) в каждой области:

E(r) = rs1/(3ε0), 0 < r < 1

E(r) = (rs1 - R^2s2/r)/(3ε0), 1 < r < 2

E(r) = s2R^3/(ε0r^2), r > 2