На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Ри О так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.

Для начала заметим, что пары точек (M, P) и (N, Q) делят стороны четырехугольника ABCD пополам. Таким образом, AM = CP = MP, BN = DQ = NQ, BM = DP = MP, NC = QA = NQ.

Теперь рассмотрим треугольники ABM и CDP. У них равны две стороны: AB и CD (они же MP), а также углы при вершине B и D соответственно, так как они образованы продолжением отрезков BM и DP. Следовательно, треугольники ABM и CDP равны. Аналогично можно доказать, что треугольники BCN и DAQ равны.

Из равенства треугольников следует, что углы ABC и CDA равны, а также углы BCD и DAB равны. Значит, четырехугольник ABCD - параллелограмм.

Далее, поскольку AM = MP и BN = NQ, то MN || AB и PQ || CD. Кроме того, из равенства треугольников следует, что углы ABM и CDP равны, а углы BCN и DAQ равны. Значит, MN || PQ и MP = NQ. Таким образом, четырехугольник MNPQ - параллелограмм.

Таким образом, мы доказали, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.