Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, если вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0.1.

Пусть $p$ - вероятность правильно набитой перфокарты, тогда вероятность неправильно набитой перфокарты равна $1-p$.

Вероятность того, что все 19 перфокарт правильно набиты, равна $p^{19}$.

Вероятность того, что ровно одна перфокарта неправильно набита, а остальные 18 - правильно, равна $0.1 \cdot p^{18} \cdot 19$. Здесь мы выбираем одну перфокарту из 19, которая неправильно набита, а остальные 18 - правильно.

Аналогично, вероятность того, что две перфокарты неправильно набиты, а остальные 17 - правильно, равна $0.1^2 \cdot p^{17} \cdot \binom{19}{2}$. Здесь мы выбираем две перфокарты из 19, которые неправильно набиты, а остальные 17 - правильно.

Продолжая этот процесс, мы можем выписать вероятность того, что $k$ перфокарт неправильно набиты, а остальные $19-k$ - правильно:

$$P(k) = 0.1^k \cdot p^{19-k} \cdot \binom{19}{k}$$

Наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт будет тем значением $k$, для которого вероятность $P(k)$ максимальна.

Для нахождения этого значения мы можем построить график функции $P(k)$ и найти его максимум. Однако, заметим, что вероятность $P(k)$ монотонно убывает с ростом $k$, так как $p<1$. Поэтому наивероятнейшее число правильно набитых перфокарт будет равно 0, то есть мы предполагаем, что все перфокарты набиты неверно.