Пусть М – множество всех шестнадцатизначных натуральных чисел, для каждого из которых выполняются два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1.

а) Приведите пример одного числа из множества М. б) Докажите, что все числа из множества М четные.

 

А) Примером числа из множества М является число 1000000000000000, так как оно является квадратом целого числа (1000000000000000 = 100000000^2) и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1.

б) Для доказательства того, что все числа из множества М четные, рассмотрим произвольное число из множества М. Пусть оно имеет вид N = 10000000000000a, где а - некоторая цифра.

Так как N является квадратом целого числа, то корень из N также является целым числом. Пусть корень из N равен b, тогда N = b^2.

Рассмотрим последние две цифры числа N. Они равны последним двум цифрам числа b^2. Так как квадрат целого числа заканчивается на 0, 1, 4, 5, 6 или 9, то последние две цифры числа b^2 также могут быть только 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Так как в десятичной записи числа N в разряде десятков стоит цифра 1, то последние две цифры числа b^2 должны быть равны 01. Это возможно только в случае, если последние две цифры числа b равны 01.

Значит, корень из N является числом, оканчивающимся на 01, а значит само число N является четным, так как оканчивается на 00.

Таким образом, все числа из множества М являются четными.