5. Пусть М – множество всех шестнадцатизначных натуральных чисел, для каждого из которых выполняются два условия: оно является квадратом целого числа и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1.

а) Приведите пример одного числа из множества М. б) Докажите, что все числа из множества М четные.

А) Пример одного числа из множества М: 1000000000000000. Это число является квадратом целого числа (квадрат 100000000) и в его десятичной записи в разряде десятков стоит цифра 1.

б) Докажем, что все числа из множества М четные.

Пусть x – шестнадцатизначное число из множества М. Тогда x можно записать в виде x = 1000000000000000 + 100000000a, где a – некоторое натуральное число.

Так как x является квадратом целого числа, то x = b^2, где b – целое число.

Подставим выражение для x в это равенство: 1000000000000000 + 100000000a = b^2.

Выразим a: a = (b^2 - 1000000000000000) / 100000000.

Заметим, что числитель b^2 - 1000000000000000 является разностью двух квадратов и всегда четным числом.

Также заметим, что знаменатель 100000000 является четным числом.

Поэтому a = (b^2 - 1000000000000000) / 100000000 является четным числом.

Таким образом, каждое число x из множества М можно записать в виде x = 1000000000000000 + 100000000a, где a – четное число.

Следовательно, все числа из множества М четные.