Лог. неравенство

Решите неравенство с помощью алгоритма! 

1. Необходимо добится того, чтобы по обе стороны, от знака неравенства была log с одинаковыми оснрвами.

2. Составим систему 

[1-е выражение - выражение log > 0

[2-е выражение - это само нер-во без log

3. Если основание < 1 то меняем знак нер-ва на противоположный

4. Решаем каждое

5. Строим числовую прямую и находим общее решение

6. Ответ





log0,5(3x+0,5)+log0,5(x-2)>-2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом:

1. Для начала, нам нужно привести оба выражения под логарифмом к одному основанию. В данном случае основание логарифма равно 0,5.

2. Мы можем объединить два логарифма в один, используя свойство логарифма, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения соответствующих аргументов.

Таким образом, мы можем записать данное неравенство следующим образом:
log0,5[(3x+0,5)(x-2)] > -2

3. Теперь мы можем убрать логарифм, применив обратную функцию - возведение в степень.

Получаем:
(3x+0,5)(x-2) > 0,5^(-2)

4. Упростим правую часть неравенства:
(3x+0,5)(x-2) > 4

5. Раскроем скобки:
3x^2 - 6x + 0,5x - 1 > 4
3x^2 - 5,5x - 5 > 0

6. Теперь нам нужно решить это квадратное неравенство. Давайте построим числовую прямую и найдем интервалы, на которых неравенство выполняется.

Для начала найдем точки, в которых левая часть равна нулю:
3x^2 - 5,5x - 5 = 0
Решая это квадратное уравнение, получаем два корня: x ≈ -0,8 и x ≈ 2,2.

Теперь мы можем выбрать точку в каждом из трех интервалов, образованных этими корнями, и проверить, выполняется ли неравенство в этих точках.

При x < -0,8: возьмем x = -1
Подставляем значение в исходное неравенство:
3*(-1)^2 - 5,5*(-1) - 5 = 3 + 5,5 - 5 > 0
Неравенство выполняется.

При -0,8 < x < 2,2: возьмем x = 0
Подставляем значение в исходное неравенство:
3*0^2 - 5,5*0 - 5 = -5 < 0
Неравенство не выполняется.

При x > 2,2: возьмем x = 3
Подставляем значение в исходное неравенство:
3*3^2 - 5,5*3 - 5 = 9 - 16,5 - 5 < 0
Неравенство не выполняется.

7. Итак, неравенство выполняется при x < -0,8.

Ответ: x < -0,8.