Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 865 б
Задача 10. На доске написаны числа 1, 2, …, 100. Петя и Вася по очереди вычёркивают эти числа (Петя ходит первым). После 49-го хода Васи считают разность двух оставшихся чисел. Если разность более 50, выиграл Вася, если меньше 50 - Петя. Докажите, что: а) у Васи есть ничейная стратегия; б) у Пети есть ничейная стратегия.
1
ответ
А) Для доказательства, что у Васи есть ничейная стратегия, рассмотрим следующую тактику: Вася всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от конца последовательности, как и число, которое вычеркнул Петя на предыдущем ходу.
Изначально Петя вычеркивает число 1, и остается последовательность чисел от 2 до 100. Вася, следуя своей тактике, вычеркивает число 100 - 1 = 99. Теперь остается последовательность чисел от 2 до 98. Петя вычеркивает число 2, и остается последовательность чисел от 3 до 98. Вася, снова следуя своей тактике, вычеркивает число 98 - 2 = 96. И так далее.
Таким образом, Вася всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от конца последовательности, как и число, которое вычеркнул Петя на предыдущем ходу. Это означает, что после каждого хода Пети останется последовательность чисел, в которой на одно число больше, чем после предыдущего хода Васи.
Так как Петя ходит первым, то после 49-го хода Васи в последовательности останется одно число. После 50-го хода Пети в последовательности останется два числа. И так далее. Таким образом, после 99-го хода Пети в последовательности останется 50 чисел.
Изначально в последовательности было 100 чисел, поэтому после 99-го хода Пети останется 50 чисел, а после 100-го хода Пети останется 51 число.
Таким образом, разность двух оставшихся чисел будет 51 - 50 = 1, что меньше 50. Значит, Вася всегда выигрывает при данной стратегии.
б) Для доказательства, что у Пети есть ничейная стратегия, рассмотрим следующую тактику: Петя всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от начала последовательности, как и число, которое вычеркнул Вася на предыдущем ходу.
Изначально Вася вычеркивает число 1, и остается последовательность чисел от 2 до 100. Петя, следуя своей тактике, вычеркивает число 100 - 1 = 99. Теперь остается последовательность чисел от 2 до 98. Вася вычеркивает число 2, и остается последовательность чисел от 3 до 98. Петя, снова следуя своей тактике, вычеркивает число 98 - 2 = 96. И так далее.
Таким образом, Петя всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от начала последовательности, как и число, которое вычеркнул Вася на предыдущем ходу. Это означает, что после каждого хода Васи останется последовательность чисел, в которой на одно число меньше, чем после предыдущего хода Пети.
Так как Петя ходит первым, то после 49-го хода Васи в последовательности останется 51 число. После 50-го хода Пети в последовательности останется 50 чисел. И так далее. Таким образом, после 99-го хода Васи в последовательности останется 1 число.
Изначально в последовательности было 100 чисел, поэтому после 100-го хода Васи останется 1 число.
Таким образом, разность двух оставшихся чисел будет 1 - 1 = 0, что меньше 50. Значит, Петя всегда выигрывает при данной стратегии.
Изначально Петя вычеркивает число 1, и остается последовательность чисел от 2 до 100. Вася, следуя своей тактике, вычеркивает число 100 - 1 = 99. Теперь остается последовательность чисел от 2 до 98. Петя вычеркивает число 2, и остается последовательность чисел от 3 до 98. Вася, снова следуя своей тактике, вычеркивает число 98 - 2 = 96. И так далее.
Таким образом, Вася всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от конца последовательности, как и число, которое вычеркнул Петя на предыдущем ходу. Это означает, что после каждого хода Пети останется последовательность чисел, в которой на одно число больше, чем после предыдущего хода Васи.
Так как Петя ходит первым, то после 49-го хода Васи в последовательности останется одно число. После 50-го хода Пети в последовательности останется два числа. И так далее. Таким образом, после 99-го хода Пети в последовательности останется 50 чисел.
Изначально в последовательности было 100 чисел, поэтому после 99-го хода Пети останется 50 чисел, а после 100-го хода Пети останется 51 число.
Таким образом, разность двух оставшихся чисел будет 51 - 50 = 1, что меньше 50. Значит, Вася всегда выигрывает при данной стратегии.
б) Для доказательства, что у Пети есть ничейная стратегия, рассмотрим следующую тактику: Петя всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от начала последовательности, как и число, которое вычеркнул Вася на предыдущем ходу.
Изначально Вася вычеркивает число 1, и остается последовательность чисел от 2 до 100. Петя, следуя своей тактике, вычеркивает число 100 - 1 = 99. Теперь остается последовательность чисел от 2 до 98. Вася вычеркивает число 2, и остается последовательность чисел от 3 до 98. Петя, снова следуя своей тактике, вычеркивает число 98 - 2 = 96. И так далее.
Таким образом, Петя всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от начала последовательности, как и число, которое вычеркнул Вася на предыдущем ходу. Это означает, что после каждого хода Васи останется последовательность чисел, в которой на одно число меньше, чем после предыдущего хода Пети.
Так как Петя ходит первым, то после 49-го хода Васи в последовательности останется 51 число. После 50-го хода Пети в последовательности останется 50 чисел. И так далее. Таким образом, после 99-го хода Васи в последовательности останется 1 число.
Изначально в последовательности было 100 чисел, поэтому после 100-го хода Васи останется 1 число.
Таким образом, разность двух оставшихся чисел будет 1 - 1 = 0, что меньше 50. Значит, Петя всегда выигрывает при данной стратегии.
0
·
Хороший ответ
26 сентября 2023 14:16
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Другое
6. Соотнесите понятия и их определения:1) предметы труда 2) средства труда 3) орудия труда а) различные технические устройства, не труда необходимые д...
Какие типы банков действуют на практике...
Начинающий астроном Вася заинтересовался шаровыми звездными скоплениями. Какие из записанных Васей утверждений об этих объектах верны? Известны шаровы...
ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ СРОЧНО !! Какие планеты могут находиться в противостоянии? Ответ поясните рисунком...
чем питались жилин и костылин из кавказкого пленника. чем они занимались в плену. и чем различаются жилин и костылин?...