Задача 10. На доске написаны числа 1, 2, …, 100. Петя и Вася по очереди вычёркивают эти числа (Петя ходит первым). После 49-го хода Васи считают разность двух оставшихся чисел. Если разность более 50, выиграл Вася, если меньше 50 - Петя. Докажите, что: а) у Васи есть ничейная стратегия; б) у Пети есть ничейная стратегия.

А) Для доказательства, что у Васи есть ничейная стратегия, рассмотрим следующую тактику: Вася всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от конца последовательности, как и число, которое вычеркнул Петя на предыдущем ходу.

Изначально Петя вычеркивает число 1, и остается последовательность чисел от 2 до 100. Вася, следуя своей тактике, вычеркивает число 100 - 1 = 99. Теперь остается последовательность чисел от 2 до 98. Петя вычеркивает число 2, и остается последовательность чисел от 3 до 98. Вася, снова следуя своей тактике, вычеркивает число 98 - 2 = 96. И так далее.

Таким образом, Вася всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от конца последовательности, как и число, которое вычеркнул Петя на предыдущем ходу. Это означает, что после каждого хода Пети останется последовательность чисел, в которой на одно число больше, чем после предыдущего хода Васи.

Так как Петя ходит первым, то после 49-го хода Васи в последовательности останется одно число. После 50-го хода Пети в последовательности останется два числа. И так далее. Таким образом, после 99-го хода Пети в последовательности останется 50 чисел.

Изначально в последовательности было 100 чисел, поэтому после 99-го хода Пети останется 50 чисел, а после 100-го хода Пети останется 51 число.

Таким образом, разность двух оставшихся чисел будет 51 - 50 = 1, что меньше 50. Значит, Вася всегда выигрывает при данной стратегии.

б) Для доказательства, что у Пети есть ничейная стратегия, рассмотрим следующую тактику: Петя всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от начала последовательности, как и число, которое вычеркнул Вася на предыдущем ходу.

Изначально Вася вычеркивает число 1, и остается последовательность чисел от 2 до 100. Петя, следуя своей тактике, вычеркивает число 100 - 1 = 99. Теперь остается последовательность чисел от 2 до 98. Вася вычеркивает число 2, и остается последовательность чисел от 3 до 98. Петя, снова следуя своей тактике, вычеркивает число 98 - 2 = 96. И так далее.

Таким образом, Петя всегда будет вычеркивать число, которое находится на том же расстоянии от начала последовательности, как и число, которое вычеркнул Вася на предыдущем ходу. Это означает, что после каждого хода Васи останется последовательность чисел, в которой на одно число меньше, чем после предыдущего хода Пети.

Так как Петя ходит первым, то после 49-го хода Васи в последовательности останется 51 число. После 50-го хода Пети в последовательности останется 50 чисел. И так далее. Таким образом, после 99-го хода Васи в последовательности останется 1 число.

Изначально в последовательности было 100 чисел, поэтому после 100-го хода Васи останется 1 число.

Таким образом, разность двух оставшихся чисел будет 1 - 1 = 0, что меньше 50. Значит, Петя всегда выигрывает при данной стратегии.