Доказать два следствия Теоремы Безу:

a. Если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то

многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

б. Число различных корней ненулевого многочлена не

больше, чем степень этого многочлена.

Доказательство следствия (a):

По теореме Безу, если 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то (𝑥 − 𝛼1), (𝑥 − 𝛼2), ..., (𝑥 − 𝛼𝑛) являются его линейными множителями.

Допустим, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛). Тогда, по теореме о делении многочлена на линейный множитель, существует многочлен Q(х) и остаток R(х), такие что Р(х) = Q(х) ∙ (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) + R(х), где степень R(х) меньше степени (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

Так как 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - корни многочлена Р(х), то при подстановке 𝑥 = 𝛼1, 𝑥 = 𝛼2, ..., 𝑥 = 𝛼𝑛 в равенство Р(х) = Q(х) ∙ (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) + R(х) получаем:

0 = R(𝛼1) = R(𝛼2) = ... = R(𝛼𝑛).

Так как многочлен R(х) имеет степень меньше степени (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛), то он имеет не более чем n - 1 корень, что противоречит условию R(𝛼1) = R(𝛼2) = ... = R(𝛼𝑛).

Таким образом, предположение о том, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛), неверно. Следовательно, многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

Доказательство следствия (b):

Пусть многочлен Р(х) имеет степень n и 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - его различные корни.

Предположим, что количество различных корней многочлена Р(х) больше его степени, то есть n+1 или более.

Тогда, по следствию (a), многочлен Р(х) должен делиться на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘), где k ≥ 1.

Так как степень многочлена Р(х) равна n, то степень его разложения на линейные множители (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘) должна быть не меньше n.

Однако, количество множителей (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘) равно n + k, что больше n.

Таким образом, получили противоречие.

Следовательно, предположение о том, что количество различных корней многочлена Р(х) больше его степени, неверно.

Таким образом, количество различных корней ненулевого многочлена небольше, чем его степень.