Лучшие помощники
- Megamozg 2205 б
- Matalya1 1800 б
- DevAdmin 1720 б
- arkasha_bortnikov 895 б
- Dwayne_Johnson 865 б
8 октября 2023 17:57
159
Доказать два следствия Теоремы Безу:
a. Если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то
многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
б. Число различных корней ненулевого многочлена не
больше, чем степень этого многочлена.
1
ответ
Доказательство следствия (a):
По теореме Безу, если 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то (𝑥 − 𝛼1), (𝑥 − 𝛼2), ..., (𝑥 − 𝛼𝑛) являются его линейными множителями.
Допустим, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛). Тогда, по теореме о делении многочлена на линейный множитель, существует многочлен Q(х) и остаток R(х), такие что Р(х) = Q(х) ∙ (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) + R(х), где степень R(х) меньше степени (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
Так как 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - корни многочлена Р(х), то при подстановке 𝑥 = 𝛼1, 𝑥 = 𝛼2, ..., 𝑥 = 𝛼𝑛 в равенство Р(х) = Q(х) ∙ (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) + R(х) получаем:
0 = R(𝛼1) = R(𝛼2) = ... = R(𝛼𝑛).
Так как многочлен R(х) имеет степень меньше степени (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛), то он имеет не более чем n - 1 корень, что противоречит условию R(𝛼1) = R(𝛼2) = ... = R(𝛼𝑛).
Таким образом, предположение о том, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛), неверно. Следовательно, многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
Доказательство следствия (b):
Пусть многочлен Р(х) имеет степень n и 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - его различные корни.
Предположим, что количество различных корней многочлена Р(х) больше его степени, то есть n+1 или более.
Тогда, по следствию (a), многочлен Р(х) должен делиться на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘), где k ≥ 1.
Так как степень многочлена Р(х) равна n, то степень его разложения на линейные множители (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘) должна быть не меньше n.
Однако, количество множителей (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘) равно n + k, что больше n.
Таким образом, получили противоречие.
Следовательно, предположение о том, что количество различных корней многочлена Р(х) больше его степени, неверно.
Таким образом, количество различных корней ненулевого многочлена небольше, чем его степень.
По теореме Безу, если 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то (𝑥 − 𝛼1), (𝑥 − 𝛼2), ..., (𝑥 − 𝛼𝑛) являются его линейными множителями.
Допустим, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛). Тогда, по теореме о делении многочлена на линейный множитель, существует многочлен Q(х) и остаток R(х), такие что Р(х) = Q(х) ∙ (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) + R(х), где степень R(х) меньше степени (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
Так как 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - корни многочлена Р(х), то при подстановке 𝑥 = 𝛼1, 𝑥 = 𝛼2, ..., 𝑥 = 𝛼𝑛 в равенство Р(х) = Q(х) ∙ (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) + R(х) получаем:
0 = R(𝛼1) = R(𝛼2) = ... = R(𝛼𝑛).
Так как многочлен R(х) имеет степень меньше степени (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛), то он имеет не более чем n - 1 корень, что противоречит условию R(𝛼1) = R(𝛼2) = ... = R(𝛼𝑛).
Таким образом, предположение о том, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛), неверно. Следовательно, многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).
Доказательство следствия (b):
Пусть многочлен Р(х) имеет степень n и 𝛼1, 𝛼2, ..., 𝛼𝑛 - его различные корни.
Предположим, что количество различных корней многочлена Р(х) больше его степени, то есть n+1 или более.
Тогда, по следствию (a), многочлен Р(х) должен делиться на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘), где k ≥ 1.
Так как степень многочлена Р(х) равна n, то степень его разложения на линейные множители (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘) должна быть не меньше n.
Однако, количество множителей (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛) ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+𝑘) равно n + k, что больше n.
Таким образом, получили противоречие.
Следовательно, предположение о том, что количество различных корней многочлена Р(х) больше его степени, неверно.
Таким образом, количество различных корней ненулевого многочлена небольше, чем его степень.
0
·
Хороший ответ
8 октября 2023 18:00
Остались вопросы?
Еще вопросы по категории Математика
Бригада рабочих за первый день сделала 25 процентов запланированного количества деталей, а во второй день 40 процентов от количества. Определите сколь...
Что произойдет, если умножить на ноль любое число?...
ПОМОГИТЕ!ЗАДАЧА!!!От лесоповала вниз по течению реки движется плот. Плотовщик доплывает на моторной лодке из конца плота к его началу и обратно за 12...
Как перевести 2 кв м в квадратные дециметры?...
Чему равен 1 сантиметр в миллиметрах?...