Р(х) – многочлен. Верно ли, что для любого вещественного числа

а многочлен 𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑎) делится на 𝑥 − 𝑎? Ответ обоснуйте.

Да, для любого вещественного числа a многочлен P(x) - P(a) действительно делится на x - a.

Это можно доказать, используя теорему о делении многочлена на линейный множитель.

Согласно этой теореме, если у нас есть многочлен P(x) и линейный множитель x - a, то P(x) можно представить в виде P(x) = Q(x)(x - a) + R(x), где Q(x) - некоторый многочлен, а R(x) - остаток.

Если мы подставим a вместо x в это равенство, то получим P(a) = Q(a)(a - a) + R(a), что приводит к P(a) = R(a).

Таким образом, остаток R(x) при делении P(x) на x - a равен P(a). Это означает, что P(x) - P(a) = Q(x)(x - a) + R(x) - P(a) = Q(x)(x - a), что доказывает, что P(x) - P(a) делится на x - a.