Доказать два следствия Теоремы Безу:

a. Если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то

многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

b. Число различных корней ненулевого многочлена не

больше, чем степень этого многочлена.

A. Для доказательства первого следствия Теоремы Безу, докажем, что если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - различные корни многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

По Теореме Безу, если 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - корни многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

Предположим, что многочлен Р(х) не делится на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛). Тогда, по определению, при подстановке 𝑥 = 𝛼1, 𝑥 = 𝛼2, ... , 𝑥 = 𝛼𝑛 в многочлен Р(х) получим ненулевые значения.

Это противоречит тому, что 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛 - являются корнями многочлена Р(х). Значит, многочлен Р(х) должен делиться на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛).

b. Для доказательства второго следствия Теоремы Безу, докажем, что число различных корней ненулевого многочлена небольше, чем степень этого многочлена.

Предположим, что у ненулевого многочлена Р(х) степени n есть больше n различных корней. Обозначим эти корни как 𝛼1, 𝛼2, ... , 𝛼𝑛+1.

Тогда, по первому следствию Теоремы Безу, многочлен Р(х) должен делиться на (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1).

Однако, степень многочлена (𝑥 − 𝛼1) ∙ (𝑥 − 𝛼2) ∙ ... ∙ (𝑥 − 𝛼𝑛+1) равна n+1, что больше степени многочлена Р(х), который равен n.

Это противоречит предположению о том, что у многочлена Р(х) есть больше n различных корней. Значит, число различных корней ненулевого многочлена небольше, чем его степень.