Действительное число 𝑎

 таково, что уравнение 𝑎𝑥

2

+(𝑎+10)𝑥−10−2𝑎=0

 имеет два действительных корня, отличающихся в 3

 раза. Чему может быть равно 𝑎

? Укажите все возможные варианты.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой дискриминанта для квадратного уравнения. Дискриминант выражается следующей формулой:

𝐷 = 𝑏^2 - 4𝑎𝑐

В данном уравнении коэффициенты равны: 𝑎 = 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 10, 𝑐 = -10 - 2𝑎. Подставим их в формулу дискриминанта и упростим выражение:

𝐷 = (𝑎 + 10)^2 - 4𝑎(-10 - 2𝑎)
𝐷 = 𝑎^2 + 20𝑎 + 100 - 40𝑎 + 80𝑎 + 8𝑎^2
𝐷 = 9𝑎^2 + 60𝑎 + 100

Далее, по условию задачи, у нас есть два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Обозначим эти корни как 𝑥1 и 𝑥2. Тогда:

𝑥2 = 3𝑥1

Также, по формуле Виета, сумма корней равна:

𝑥1 + 𝑥2 = - (𝑏/𝑎)

Подставим значение 𝑥2 и упростим выражение:

𝑥1 + 3𝑥1 = - (𝑎 + 10)/𝑎
4𝑥1 = - (𝑎 + 10)/𝑎

Учитывая, что 𝑥1 ≠ 0 (так как уравнение имеет два действительных корня), мы можем упростить это выражение:

4 = - (𝑎 + 10)/𝑎
4𝑎 = - (𝑎 + 10)
4𝑎 = -𝑎 - 10
5𝑎 = -10
𝑎 = -2

Таким образом, единственным возможным значением для 𝑎 является -2.