Математический маятник длины L колеблется с угловой амплитудой am. Угол отклонения нити от положения равновесия в начальный момент времени равен a0. Получите зависимости от времени угла отклонения нити маятника от положения равновесия a(t), угловой скорости w(t), и углового ускорения E(t) маятника.

Для получения зависимостей от времени угла отклонения нити маятника от положения равновесия a(t), угловой скорости w(t) и углового ускорения E(t), воспользуемся законом сохранения энергии и уравнением движения математического маятника.

Закон сохранения энергии:
E = T + U,
где E - полная механическая энергия маятника, T - его кинетическая энергия, U - потенциальная энергия.

Для математического маятника:
T = (1/2) * I * w^2,
U = m * g * L * (1 - cos(a)),
где I - момент инерции маятника, m - его масса, g - ускорение свободного падения.

Момент инерции математического маятника относительно точки подвеса:
I = m * L^2.

Подставим выражения для T и U в закон сохранения энергии:
E = (1/2) * m * L^2 * w^2 + m * g * L * (1 - cos(a)).

Уравнение движения математического маятника:
E = (1/2) * m * L^2 * w^2 + m * g * L * (1 - cos(a)) = const.

Дифференцируем это уравнение по времени:
0 = m * L^2 * w * dw/dt + m * g * L * sin(a) * da/dt.

Выразим dw/dt и da/dt:
dw/dt = - (g / L) * sin(a),
da/dt = (L / (m * L^2)) * w.

Теперь мы имеем систему дифференциальных уравнений:
dw/dt = - (g / L) * sin(a),
da/dt = (L / (m * L^2)) * w.

Решая эту систему уравнений, можно получить зависимости от времени угла отклонения нити маятника от положения равновесия a(t), угловой скорости w(t) и углового ускорения E(t) маятника.