y=x^4-2x².Найти промежутки возрастания и убывания функции

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, необходимо найти ее производную и проанализировать ее знаки.

Для данной функции, y = x^4 - 2x^2, найдем первую производную:

y' = 4x^3 - 4x

Затем приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

4x^3 - 4x = 0

4x(x^2 - 1) = 0

Таким образом, получаем две критические точки: x = 0 и x = ±1.

Теперь проанализируем знаки производной на интервалах между критическими точками и за пределами этих точек.

1. Когда x < -1:
Подставим x = -2 в производную:
y' = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24
Знак производной отрицательный.
Значит, на этом интервале функция убывает.

2. Когда -1 < x < 0:
Подставим x = -0.5 в производную:
y' = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -1 + 2 = 1
Знак производной положительный.
Значит, на этом интервале функция возрастает.

3. Когда 0 < x < 1:
Подставим x = 0.5 в производную:
y' = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 1 - 2 = -1
Знак производной отрицательный.
Значит, на этом интервале функция убывает.

4. Когда x > 1:
Подставим x = 2 в производную:
y' = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24
Знак производной положительный.
Значит, на этом интервале функция возрастает.

Таким образом, промежутки возрастания функции: (-1, 0) и (1, +∞).
Промежутки убывания функции: (-∞, -1) и (0, 1).