На доску выписаны первые n натуральных чисел: 1

1, 2, ..., n. Оказалось, что ровно девять из них делятся на 7 и ровно семь из них делятся на 8. Сколько из выписанных чисел делятся на 9?

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип включения-исключения.

Из условия задачи известно, что ровно 9 чисел делятся на 7 и ровно 7 чисел делятся на 8. Мы хотим найти количество чисел, которые делятся на 9.

Обозначим A как множество чисел, делящихся на 7, и B как множество чисел, делящихся на 8. Тогда мы хотим найти количество чисел, которые принадлежат и множеству A, и множеству B.

Используя принцип включения-исключения, мы можем записать формулу для количества чисел, делящихся на 9:

|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B|

Из условия задачи известно, что |A| = 9 и |B| = 7. Также, поскольку A и B являются множествами натуральных чисел, их пересечение не может быть пустым множеством, то есть |A ∩ B| > 0.

Теперь нам нужно найти |A ∪ B|. Мы знаем, что всего на доске выписано n чисел, начиная с 11. Поскольку первое число, которое делится на 7, это 14 (11 + 3), а первое число, которое делится на 8, это 16 (11 + 5), то максимальное значение n, при котором все условия выполняются, будет n = 16.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

|A ∪ B| = n - |A' ∪ B'|

где A' и B' - дополнения к множествам A и B соответственно.

|A' ∪ B'| = |U| - |A ∪ B|

где U - универсальное множество всех чисел на доске, то есть множество натуральных чисел от 11 до n.

Теперь мы можем вычислить |A' ∪ B'|:

|A' ∪ B'| = |U| - |A ∪ B| = n - (|A| + |B| - |A ∩ B|) = n - (9 + 7 - |A ∩ B|) = n - 16 + |A ∩ B|

Так как |A ∩ B| > 0, то |A' ∪ B'| > 0 и, следовательно, n - 16 > 0. Это означает, что n > 16.

Таким образом, количество чисел, которые делятся на 9, будет равно n - 16.

Ответ: количество чисел, делящихся на 9, будет n - 16.